MathWeb-Stationäre Punkte mit Lösung

In dieser Aufgabe soll die Bestimmung aller stationären Punkte einer Funktion mit zwei Variablen durchgeführt werden. Dazu werden die partiellen Ableitungen berechnet und gleich null gesetzt, um ein lineares Gleichungssystem zu erhalten. Ziel ist es, die Koordinaten derjenigen Punkte zu finden, an denen die Funktion bezüglich beider Variablen keine Steigung aufweist.

Beispiel

Berechnen Sie alle stationären Punkte der Funktion \( f \) gegeben durch \[ f(x, y) = -3 x^2-4 x-3 y-2 y^2-5 x y+2 . \]

Geben Sie das Ergebnis in der Form \[ \mathbb{L} = \Big\{ (x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots (x_n, y_n) \Big\} \]an, wobei \( (x_i, y_i) \) die Koordinaten eines stationären Punktes sind.

Nutzen Sie hierfür den folgenden Lösungsweg: \begin{eqnarray*}f_x(x, y) & = & -6 x-4 -5 y \\[1em]f_y(x, y) & = & -3 -4 y-5 x \\[1em]f_x(x, y) & = & 0 \\[1em]f_y(x, y) & = & 0 \\[1em]\end{eqnarray*}\[ \Rightarrow \left (\begin{array}{rr}-6&-5\\-5&-4\end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left ( \begin{array}{c}4\\3\end{array} \right)\]\[ \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \frac{1}{-1}\left (\begin{array}{rr}-4&5\\5&-6\end{array} \right)\left ( \begin{array}{c}4\\3\end{array} \right) = \left ( \begin{array}{c}1\\-2\end{array} \right)\]\[ \Rightarrow \mathbb{L} = \Big\{ \big( 1, -2\big) \Big\} \]

Formate

Stichworte

stationäre punkte, funktionen mehrerer variablen, partielle ableitung, lineares gleichungssystem, gradient, kritische punkte