MathWeb-Eigenwertproblem

Geben Sie einen Eigenvektor der Matrix \( A =\left (\begin{array}{rrr}0&3&2\\0&0&4\\15&1&-9\end{array} \right)\) zum Eigenwert \(\lambda = 5\) an.

Bestimmung eines Eigenvektors

Zu einer gegebenen Matrix und einem Eigenwert ist ein zugehöriger Eigenvektor zu bestimmen.

Geben Sie das charakteristische Polynom \( p(x) \) zu der Matrix \[ A = \left (\begin{array}{rrr}4&-3&2\\2&0&0\\-2&-1&-5\end{array} \right)\] an. Sie müssen die Terme dabei nicht ausmultiplizieren oder zusammenfassen.

Charakteristisches Polynom einer Matrix

Bestimmen Sie das charakteristische Polynom einer gegebenen Matrix.

Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix \[ A = \left( \begin{array}{cc} 6 & 3\\3 & 4\end{array} \right) \]Sie können dabei den folgenden Lösungsweg verwenden: \[ \begin{array}{rrcl} & p(x) & = & 0 \\\Leftrightarrow & (6-x)\,(4-x)-3^{2} & = & 0 \\\Leftrightarrow & x^2-10 x+15 & = & 0 \\ \Leftrightarrow & x = 5 - \sqrt{ 25 -15 } & \vee& x = 5 + \sqrt{ 25 -15 }\end{array} \]

Eigenwerte bestimmen

Bestimmen Sie die Eigenwerte einer gegebenen Matrix.

Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix \[ A = \left( \begin{array}{cc} 5 & -1\\-1 & -3\end{array} \right) \]Das charakteristische Polynom der Matrix A wird mit p(x) bezeichnet

Eigenwerte bestimmen

Bestimmen Sie die Eigenwerte einer gegebenen Matrix.

Gegeben ist die Matrix \[ A = \left (\begin{array}{rr}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\end{array} \right)\]Bestimmen Sie

a) das charakteristische Polynom \( p(x) \) von \( A \),

b) alle Eigenwerte von \( A \) (durch Komma getrennt)

c) zu jedem Eigenwert jeweils einen Eigenvektor (Zeilenvektoren in runden Klammern, jeweils durch Komma getrennt).

a)

b)

c)

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix

Bestimmen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und Eigenvektoren einer gegebenen Matrix.

Bestimmen Sie schrittweise alle Eigenwerte der Matrix \[ A = \left( \begin{array}{rr} -8 & 3 \\ -18 & 7 \end{array} \right) \]

Sie können dabei den folgenden Lösungsweg verwenden: \[ \begin{array}{rrcl} & p(x) & = & 0 \\[0.5em]\Leftrightarrow & \det(A - x I) & = & 0 \\[0.5em]\Leftrightarrow & \left| \begin{array}{cc} -8 -x & 3 \\ -18 & 7 - x \end{array} \right| & = & 0 \\[0.5em]\Leftrightarrow & (-8-x)(7-x) + 3 \cdot 18 & = & 0 \\[0.5em]\Leftrightarrow & x^2 + x -2 & = & 0 \\[0.5em]\Leftrightarrow & x = -\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1}{4} + 2 } & \vee & x = -\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} + 2 } \\[0.5em]\Leftrightarrow & x = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} & \vee & x = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \end{array} \]\[ \Rightarrow \mathbb{L} = \{ -2, 1 \} \]

Eigenwerte einer Matrix mit Vorlage

Bestimmen Sie alle Eigenwerte einer gegebenen Matrix durch Lösen der charakteristischen Gleichung.

Wie ist das charakteristische Polynom \( p(x) \) einer Matrix \( A \) definiert?

\(p(x) = \)

Charakteristisches Polynom einer Matrix

Das charakteristische Polynom einer Matrix soll definiert werden.

Bestimmen Sie schrittweise alle Eigenwerte der Matrix \[ A = \left (\begin{array}{rr}-7&1\\-6&-2\end{array} \right)\]

Eigenwerte einer Matrix

Bestimmen Sie alle Eigenwerte einer gegebenen Matrix.

Gegeben ist die Matrix \[ A = \left (\begin{array}{rr}-\frac{11}{5}&-\frac{8}{5}\\-\frac{8}{5}&\frac{1}{5}\end{array} \right)\]Bestimmen Sie alle Eigenwerte von \( A \)

Geben Sie diese durch Komma getrennt an.

Eigenwerte einer Matrix (B)

Bestimmen Sie alle Eigenwerte einer gegebenen Matrix.

Bestimen Sie für \[ A = \left (\begin{array}{rr}\frac{6}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{4}{7}&\frac{15}{7}\end{array} \right)\]mit den Eigenwerten \( \lambda_1 = 2\) und \( \lambda_2 = 1\) die zugehörigen Eigenvektoren \( \vec{x}_1 \) und \( \vec{x}_2\).

\( \vec{x}_1 = \)

\( \vec{x}_2 = \)

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix (C)

Zu vorgegebenen Eigenwerten einer Matrix sind die zugehörigen Eigenvektoren zu bestimmen.

Bestimen Sie für \[ A = \left (\begin{array}{rr}\frac{43}{17}&-\frac{12}{17}\\-\frac{6}{17}&\frac{42}{17}\end{array} \right)\]zum Eigenwert \( \lambda_1 = 3\) einen zugehörigen Eigenvektor \( \vec{x}_1 \).

\( \vec{x}_1 = \)

1. Eigenvektor einer Matrix

Zu einem gegebenen Eigenwert einer Matrix soll ein zugehöriger Eigenvektor bestimmt werden.

Bestimen Sie für \[ A = \left (\begin{array}{rr}-\frac{1}{7}&-\frac{15}{7}\\-\frac{20}{7}&-\frac{6}{7}\end{array} \right)\]zum Eigenwert \( \lambda_2 = 2\) einen zugehörigen Eigenvektor \( \vec{x}_1 \).

\( \vec{x}_1 = \)

2. Eigenvektor einer Matrix

Zu einem gegebenen Eigenwert einer Matrix soll ein zugehöriger Eigenvektor bestimmt werden.

Wie lautet konkret das lineare Gleichungssystem zur Bestimmung eines Eigenvektors der Matrix \[ A = \left (\begin{array}{rr}-\frac{13}{5}&\frac{9}{5}\\-\frac{6}{5}&\frac{8}{5}\end{array} \right)\]zum Eigenwert \( \lambda_1 = 1\)

\( \; \vec{x}_1 = \; \)

LGS zum 1. Eigenvektor einer Matrix aufstellen

Stelle das lineare Gleichungssystem zur Bestimmung eines Eigenvektors für einen gegebenen Eigenwert einer Matrix auf.

Bestimmen Sie eine Lösung des linearen Gleichungssystems \[ \left (\begin{array}{rr}\frac{24}{5}&-\frac{12}{5}\\\frac{8}{5}&-\frac{4}{5}\end{array} \right)\cdot \vec{x}_1 = \vec{0} \] die nicht der Nullvektor ist.

\( \vec{x}_1 = \)

LGS zum 1. Eigenvektor einer Matrix lösen

Bestimmen Sie einen nichttrivialen Eigenvektor zu einer Matrix über ein homogenes lineares Gleichungssystem.

Gesucht sind die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren der Matrix \[ A = \left (\begin{array}{rr}\frac{14}{25}&\frac{48}{25}\\\frac{48}{25}&-\frac{14}{25}\end{array} \right)\]Was müssen wir tun, um die Eigenwerte zu bestimmen?

Antwort

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix (A)

Bestimmen Sie die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren einer quadratischen Matrix.

Geben Sie eine Matrix \(A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \) an, die den Eigenvektor \( \left( \begin{array}{c} 5\\-5\end{array} \right)\) zum Eigenwert 3 und den Eigenvektor \( \left( \begin{array}{c} 2\\-3\end{array} \right)\) zum Eigenwert -1 besitzt.

Inverses Eigenwertproblem

Es soll eine Matrix konstruiert werden, die vorgegebene Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren besitzt.

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