MathWeb-Abschnittsweise definierte Funktionen

Beschreiben Sie die Funktion \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 &, x < 0\\ x-4 &, x \ge 0\end{array} \right. \]mit Hilfe der Funktion \( \Theta: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)\[ \Theta(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 &, x < 0 \\ 1 & , x \ge 0 \end{array} \right. \]

\( f(x) = \)

Zusammengesetzte Funktionen (1)

Eine abschnittsweise definierte Funktion soll mit Hilfe einer Sprungfunktion als Ausdruck dargestellt werden.

Beschreiben Sie die Funktion \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 &, x < 3\\- x+1 &, x \ge 3\end{array} \right. \]mit Hilfe der Funktion \( \Theta: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)\[ \Theta(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 &, x < 0 \\ 1 & , x \ge 0 \end{array} \right. \]

\( f(x) = \)

Zusammengesetzte Funktionen (2)

Eine abschnittsweise definierte Funktion soll mithilfe einer Stufenfunktion dargestellt werden.

Beschreiben Sie die Funktion \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 5 x-1 &, x < 1\\0 &, x \ge 1\end{array} \right. \]mit Hilfe der Funktion \( \Theta: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)\[ \Theta(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 &, x < 0 \\ 1 & , x \ge 0 \end{array} \right. \]

\( f(x) = \)

Zusammengesetzte Funktionen (3)

Eine abschnittsweise definierte Funktion soll mithilfe einer Stufenfunktion in eine Ausdrucksform überführt werden.

Beschreiben Sie die Funktion \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -3 x+2 &, x < -4\\5 x-2 &, x \ge -4\end{array} \right. \]mit Hilfe der Funktion \( \Theta: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)\[ \Theta(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 &, x < 0 \\ 1 & , x \ge 0 \end{array} \right. \]

\( f(x) = \)

Zusammengesetzte Funktionen (4)

Eine abschnittsweise definierte Funktion soll mithilfe der Heaviside-Funktion umgeschrieben werden.

Beschreiben Sie die Funktion \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 &, x \le 0\\3 x+2 &, x > 0\end{array} \right. \]mit Hilfe der Funktion \( \Theta: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)\[ \Theta(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 &, x < 0 \\ 1 & , x \ge 0 \end{array} \right. \]

\( f(x) = \)

Zusammengesetzte Funktionen (5)

Eine abschnittsweise definierte Funktion soll mithilfe einer Sprungfunktion algebraisch ausgedrückt werden.

Beschreiben Sie die Funktion \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2 x+1 &, x < 3\\-5 x-5 &, 3\le x < -5\\-5 x+1 &, x \ge -5\end{array} \right. \]mit Hilfe der Funktion \( \Theta: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)\[ \Theta(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 &, x < 0 \\ 1 & , x \ge 0 \end{array} \right. \]

\( f(x) = \)

Zusammengesetzte Funktionen (6)

Eine abschnittsweise definierte Funktion soll mithilfe der Heaviside-Funktion als zusammengesetzter Ausdruck formuliert werden.

Funktionsterm bestimmen

Bestimmen Sie den Funktionsterm einer aus zwei linearen Teilfunktionen zusammengesetzten, abschnittsweise definierten Funktion.

Funktionsterm bestimmen

Bestimmen Sie den Funktionsterm einer abschnittsweise definierten Funktion anhand ihres Graphen.

Funktionsterm bestimmen

Bestimme den Funktionsterm einer abschnittsweise definierten Funktion anhand ihres Graphen.

Beschreiben Sie die folgende Tabelle \[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c} i & 1& 2& 3& 4& 5\\ \hline x_i & -4& -1& 1& 2& 5\\ \hline y_i & -7& 7& -7& -2& -4\end{array} \]durch eine abschnittsweise lineare Funktion \( f \).

Funktion aus einer Tabelle erstellen

Erstellen Sie eine abschnittsweise lineare Funktion, die gegebene Stützstellen exakt interpoliert.

Gegeben ist der Funktionsterm \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} x-5 & , x < -4\\-5 x-5 & , -4 \le x \le 0\\5 x+8 & , 0 < x \le 2\\3 x-7 & , 2 < x \le 6\\-5 x+7 & , \textrm{sonst}\\\end{array} \right. \]Werten Sie die Funktion an der Stelle \( x = -1\) aus.

Funktionsterm auswerten

Eine Wertetafel einer abschnittsweise definierten Funktion an einer gegebenen Stelle berechnen.

Funktionsterm bestimmen

Bestimmen Sie den Funktionsterm einer graphisch dargestellten abschnittsweise definierten Funktion.

Wir betrachten die abschnittsweise definierte Funktion \( f \) mit \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} 2x^{2}-2x+2 & \mbox{ für } x < 4\\ a x + b & \mbox{ für }4 \le x < 5\\ -2x^{2}+4x-1&\mbox{ für } x \ge 5\end{array} \right. \]

Wie müsssen die Koeffizienten \( a \) und \(b \) gewählt werden, damit die Funktion \(f \) auf ganz \( \mathbb{R} \) stetig ist?

Geben Sie das Ergebnis in der Form \[ a = \; ... \quad ; \quad b =\;... \] an.

Stetige Funktionen (4)

Bestimmen von Parametern, sodass eine abschnittsweise definierte Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich stetig ist.

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