Darstellung von Geraden und Ebenen

Bestimmen Sie eine Parameterform der Ebene \( E \), in der die Punkte \( P = \big(3, 3, 5\big), Q = \big(-1, 0, -2\big)\;\) und \( R = \big(-5, 2, -4\big)\; \) liegen.

Ergebnis

Bestimmen Sie eine Parameterform der Ebene \( E \), in der die Punkte \( P = \big(-2; 4; 0\big), Q = \big(5; 4; -1\big)\;\) und \( R = \big(1; 5; -5\big)\; \) liegen.

Geben Sie das Ergebnis in der Form \[ E: \vec{x} = \vec{p} + s \, \vec{u} + t \, \vec{v}; s ; t \in \mathbb{R} \]mit geeigneten Vektorn \( \vec{p}, \vec{u}, \vec{v} \).

Geben Sie die Parameterform der Ebene \( E \) an, die den Stützvektor \( \vec{p} = 3,-3,1 \) und den beiden Spannvektoren \( \vec{a} = 3,-5,3\) und \( \vec{b} = -5,-3,-2\).

Sie können hierzu die folgende Lösung verwenden: \[ E: \vec{x} = 3,-3,1 + s 3,-5,3 + t -5,-3,-2\quad ; s ; t \in \mathbb{R} \]

Geben Sie eine Parameterform der Ebene \( E \) an, die den Punkt \( A = \big(-3; -5; 0\big)\) und die Gerade \[ g: \vec{x} = \left (\begin{array}{r}-2\\-5\\2\end{array} \right) + t \left (\begin{array}{r}1\\10\\-1\end{array} \right); t \in \mathbb{R} \] enthält.

Schreiben Sie das Ergebnis in der Form \[ E: \vec{x} = \vec{p} + s \, \vec{u} + t \, \vec{v}; s ; t \in \mathbb{R} \]mit geeigneten Vektorn \( \vec{p}, \vec{u}, \vec{v} \).

Bestimmen Sie eine Parameterform der Ebene E gegeben durch die Hesse Normalform\[\frac{- x_1-2 x_2-2 x_3-1 }{3} = 0. \]

Bestimmen Sie eine Parameterform der Ebene \[ E: -5 x_1+5 x_2+ x_3 = -2. \]

Ergebnis

Bestimmen Sie eine Parameterform der Ebene E gegeben durch die Hesse Normalform\[\frac{-4 x_1-3 x_3-2 }{5} = 0. \]

Ergebnis

Geben Sie eine Parameterform der Ebene \[ E: -4 x_1-2 x_2+5 x_3 = -1 \] an.

Bestimmen Sie eine Koordinatenform der Ebene \[ E: \vec{x} = \left (\begin{array}{r}3\\4\\-4\end{array} \right) + s \left (\begin{array}{r}-5\\-1\\-4\end{array} \right) + t \left (\begin{array}{r}2\\3\\-2\end{array} \right); \quad s ; t \in \mathbb{R}. \]

Geben Sie das Ergebnis in der Form \[ E: a x_1 + b x_2 + c x_3 = d \] an.

Überführen Sie die Koordinatenform \[ E : -5 x_1-4 x_2+4 x_3 = 5\]in die Hesse-Normalform.

Sie können als Lösung Folgendes eingeben: \[ E: - x_1+2 x_2-4 x_3 = 15\]

Bestimmen Sie eine Koordinatenform der Ebene \( E \), in der die Punkte \( P = \big(2, -3, -1\big), Q = \big(-3, -5, 1\big)\;\) und \( R = \big(-4, 1, 2\big)\; \) liegen.

Geben Sie das Ergebnis in der Form

E: a x_1 + b x_2 + c x_3 = d

Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden \( g \) durch die Punkte \( P = \big(-2, 3, 3\big)\; \) und \( Q = \big(0, 5, -3\big)\).

Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden \( g \) durch die Punkte \( P = \big(4, 3, 1\big)\; \) und \( Q = \big(4, -3, 4\big)\).

Geben Sie eine Parameterdarstellung der Geraden \( g \) durch die Punkte \( P = \big(1; 1; -1\big)\; \) und \( Q = \big(-1; -1; -5\big)\) an.

Sie können dabei die folgende Lösung verwenden: \[ g: \vec{x} = -2,-4,4+ t 1,-2,-4\quad ; t \in \mathbb{R} \]

Bestimmen Sie eine Gerade \( g\), die in \( E \) verläuft, so dass jeder Punkt von \(g\) gleichweit von \(P\) und \( R\) entfernt ist.

Ergebnis