Integration über Parametergebiete

Berechnen Sie für die Menge \[ \Big\{ \big( r \cos(\varphi); r \sin(\varphi) \big) \in \mathbb{R}^2 : 4\le r \le 6\wedge \;\frac{5}{6}\pi\le \varphi \le \frac{7}{6}\pi\Big\} \] das Integral \[ \int_A \big(2 +4 y\big) \, d(x; y) \]

Geben Sie für die Menge \[ A = \Big\{ \big( r \cos(\varphi); r \sin(\varphi); z\big) \in \mathbb{R}^3 : 4\le r \le 5\; \wedge \;\pi\le \varphi \le \frac{3}{2}\pi\wedge \;2\le z \le 5\Big\} \] den Wert des Volumenintegrals \[ I = \int_A \big(-3 y- z\big) \, d(x; y; z) \] an

Geben Sie für die Menge \[ K = \Big\{ \big( r \cos(\varphi) \sin(\vartheta) ; r \sin(\varphi) \sin(\vartheta); r \cos(\vartheta) \big) \in \mathbb{R}^3 : 3\le r \le 5\wedge \;-\frac{\pi}{2}\le \varphi \le \frac{7}{6}\pi\wedge \;0\le \vartheta \le \frac{\pi}{2}\Big\} \] den Wert des Integrals \[ I = \int_K 1 \, d(x; y; z) \] an.

Geben Sie einen Ausdruck an, mit dem der Inhalt der Oberfläche der Funktion \[ f(x; y) =2 x^2+3 xy+3 y^2 \]im Bereich \[ A = [0; 2] \times [-1; 1] \]beschrieben werden kann.