Gauß-Algorithmus

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Bestimmen Sie schrittweise mit Hilfe des Gauß-Algorithmus alle Lösungen \( \vec{x} \) des linearen Gleichungssystems \[ \left( \begin{array}{lcc|c}1 & 2 & 1 \\3 & 4 & 2 \end{array} \right) \]Sie können hierzu den folgenden Lösungsweg verwenden \begin{eqnarray*}& & \left( \begin{array}{cc|c}1 & 2 & 1 \\3 & 4 & 2 \end{array} \right) \\[1em] & \Leftrightarrow & \left( \begin{array}{cc|c}1 & 2 & 1 \\0 & -2 & -1 \end{array} \right) \\[1em]& \Leftrightarrow & \left( \begin{array}{cc|c}1 & 0 & 0 \\0 & -2 & -1 \end{array} \right) \\[1em] & \Leftrightarrow & \left( \begin{array}{cc|c}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1/2 \end{array} \right) \\[1em] & \Leftrightarrow & \vec{x} = \left( \begin{array}{c}0 \\1/2 \end{array} \right)\end{eqnarray*}

Lineares Gleichungssystem in Stufenform lösen

Ein lineares Gleichungssystem in Stufenform mit dem Gauß-Algorithmus lösen.

Bestimmen Sie schrittweise mit Hilfe des Gauß-Algorithmus alle Lösungen \( \vec{x} \) des linearen Gleichungssystems \[ \left( \begin{array}{rr|r} - 1 & - 1 & 3 \\ - 2 & - 4 & - 3\end{array} \right)\]

Lineares Gleichungssystem in Stufenform lösen

Ein lineares Gleichungssystem soll mit dem Gauß-Algorithmus in Stufenform gelöst werden.

Lineares Gleichungssystem lösen

Ein lineares Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten ist zu lösen.

Lineares Gleichungssystem lösen

Ein lineares Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten ist zu lösen.

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem \[ A \vec{x} = \vec{b} \]mit \[ A = \left (\begin{array}{rrr}-10&4&5\\-60&29&39\\-70&23&34\end{array} \right)\quad \mbox{ und } \quad \vec{b} = \left ( \begin{array}{c}-21\\-58\\-159\end{array} \right).\]

Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten ist zu lösen.

Geben Sie die Lösung des linearen Gleichungssystems \[ \left (\begin{array}{rrr}-1&-2&4\\0&4&-2\\-2&3&4\end{array} \right)\cdot \vec{x} = \left (\begin{array}{r}11\\12\\41\end{array} \right)\] an.

Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten soll gelöst werden.

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem \[ A \vec{x} = \vec{b} \]mit \[ A = \left (\begin{array}{rrrr}9&-1&3&-1\\-63&16&-20&15\\9&-28&-2&-20\\90&-91&5&-32\end{array} \right)\quad \mbox{ und } \quad \vec{b} = \left ( \begin{array}{c}41\\-324\\130\\547\end{array} \right).\]

Lineares Gleichungssystem mit vier Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem mit vier Unbekannten ist zu lösen.

Bestimmen Sie \( \vec{z} \in \mathbb{C}^2 \) mit \[ \left( \begin{array}{cc} -5 -4i&2 + 2i\\ 4 -5i&-5 - i\end{array} \right) \cdot \vec{z} = \left( \begin{array}{c} 27 -2i\\ 23 + 30i\end{array} \right) \]

Lineares Gleichungssystem mit komplexen Koeffizienten

Ein lineares Gleichungssystem mit komplexen Koeffizienten ist zu lösen.

Bestimmen Sie \( \vec{z} \in \mathbb{C}^2 \) mit \[ \left( \begin{array}{cc} 3 + i&2 + i\\ 0&-2 -4i\end{array} \right) \cdot \vec{z} = \left( \begin{array}{c} 19 + i\\ 6 -18i\end{array} \right) \]

Geben Sie das Ergebnis in kartesicher Form an.

Lineares Gleichungssystem mit komplexen Koeffizienten

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit komplexen Koeffizienten.

Welche der folgenden Koeffizientenmatrizen sind in Zeilenstufenform?

\[ \mbox{a)} \quad \left (\begin{array}{rr|r}1&0&4\\5&3&-5\end{array} \right) \quad \mbox{b)} \quad \left (\begin{array}{rrr|r}1&0&0&3\\0&1&0&1\\0&0&2&-2\end{array} \right) \quad \mbox{c)} \quad \left (\begin{array}{rrrr|r}1&0&0&0&-4\\0&4&0&0&1\\0&0&1&0&1\\4&5&3&-5&-5\end{array} \right)\]

Zeilenstufenform erkennen

Entscheiden, ob vorgegebene Matrizen die Eigenschaften der Zeilenstufenform erfüllen.

Welche der folgenden Koeffizientenmatrizen sind in Zeilenstufenform?

\[ \mbox{a)} \quad \left (\begin{array}{rrrr|r}1&0&0&0&5\\0&3&3&5&-3\\0&0&1&0&-5\\0&0&0&1&4\end{array} \right) \quad \mbox{b)} \quad \left (\begin{array}{rrrr|r}-1&0&0&0&-3\\0&1&0&0&2\\3&5&1&0&2\\0&0&0&-5&4\end{array} \right) \quad \mbox{c)} \quad \left (\begin{array}{rr|r}1&0&-4\\0&1&-3\end{array} \right)\]

Eigenschaft	erfüllt	nicht erfüllt
Zeilenstufenform a)
Zeilenstufenform b)
Zeilenstufenform c)

Zeilenstufenform erkennen

Entscheiden, ob vorgegebene Matrizen die Bedingungen der Zeilenstufenform erfüllen.

Bestimmen Sie die Lösung des linearen Gleichungssystems \[ \left (\begin{array}{rrrr|r}1&0&0&0&4\\0&-1&1&0&-4\\0&-2&0&1&0\end{array} \right)\]

Ergebnis

\( \mathbb{L} = \Big\{ \)

\( \;\; + \; t \; \)

\(\; : \; t \in \mathbb{R} \Big\} \)

Unterbestimmtes Gleichungssystem

Bestimmen Sie die Lösungsmenge eines unterbestimmten linearen Gleichungssystems.

Read the solution of the underdetermined linear system of equations \[ \left (\begin{array}{rrrr|r}1&0&2&0&1\\0&1&-4&0&3\\0&0&1&1&-4\end{array} \right)\]

Result

\( \mathbb{L} = \Big\{ \)

\( \;\; + \; t \; \)

\(\; : \; t \in \mathbb{R} \Big\} \)

Underdetermined linear system of equations (1)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge eines unterbestimmten linearen Gleichungssystems.

Lesen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems \[ \left (\begin{array}{rrr|r}1&0&0&-2\\0&1&1&4\end{array} \right)\]ab. Schreiben Sie das Ergebnis in der Form \[ \Big\{ \vec{a} + t \vec{b} : t \in \mathbb{R} \Big\} \]

Unterbestimmtes Gleichungssystem

Bestimmen Sie die Lösungsmenge eines unterbestimmten linearen Gleichungssystems in Parameterform.

Singuläres Gleichungssystem lösen

Ein singuläres lineares Gleichungssystem soll gelöst und die Lösungsmenge bestimmt werden.

Underdetermined linear system

Ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem wird gelöst und die Lösungsmenge in Parameterform angegeben.

Singuläres Gleichungssystem lösen mit Hilfe (1)

Ein lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen ist zu analysieren und die Lösungsmenge anzugeben.

Singuläres Gleichungssystem lösen mit Hilfe (2)

Löse ein singuläres lineares Gleichungssystem und gib die Lösungsmenge an.

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem\[ \left (\begin{array}{rrr}3&6&-1\\27&57&-15\\-15&-6&-43\end{array} \right) \cdot \vec{x} = \left ( \begin{array}{c}-41\\-348\\373\end{array} \right)\]und schreiben Sie die Lösung in der Form \[ \mathbb{L} = \{ \vec{a} + t \vec{b} : t \in \mathbb{R} \} \]

Singuläres Gleichungssystem lösen

Ein lineares Gleichungssystem mit singulärer Koeffizientenmatrix ist zu lösen und die Lösungsmenge zu bestimmen.

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem \[ A \vec{x} = \vec{b} \]mit \[ A = \left (\begin{array}{rrr}1&1&0\\5&5&-8\\-7&-7&45\end{array} \right)\quad \mbox{ und } \quad \vec{b} = \left ( \begin{array}{c}-6\\-30\\42\end{array} \right).\]

Ergebnis

\( \mathbb{L} = \Big\{ \)

\( \;\; + \; t \; \)

\(\; : \; t \in \mathbb{R} \Big\} \)

Singuläres Gleichungssystem lösen (2)

Lösen Sie ein singuläres lineares Gleichungssystem mit mehreren Unbekannten.

Determine all solutions of the linear system \[ A \vec{x} = \vec{b} \]with \[ A = \left (\begin{array}{rrr}0&-3&1\\0&-9&13\\0&-15&-14\end{array} \right)\quad \mbox{ and } \quad \vec{b} = \left ( \begin{array}{c}19\\37\\133\end{array} \right).\]

Result

\( \mathbb{L} = \Big\{ \)

\( \;\; + \; t \; \)

\(\; : \; t \in \mathbb{R} \Big\} \)

Determine all solutions of a singular linear system

Bestimmen Sie alle Lösungen eines singulären linearen Gleichungssystems.