MathWeb-Wertebereich einer gebrochen rationalen Funktion mit Lösung

In dieser Aufgabe soll der Wertebereich einer Funktion untersucht werden, die als Quotient zweier linearer Terme definiert ist. Dazu wird geprüft, für welche Werte einer Zielvariablen die Gleichung der Form Funktion(x) = y lösbar ist. Es ist zu analysieren, ob es Ausnahmen gibt, bei denen keine Lösung existiert, und diese vom Wertebereich auszuschließen. Die Aufgabe erfordert Kenntnisse über Umformungen rationaler Ausdrücke und die Lösbarkeit linearer Gleichungen.

Beispiel

Bestimmen Sie den Wertebereich \( W \) der Funktion \( f: D_f \to \mathbb{R} \) mit \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{ -\frac{3}{2}\} \] und \[ f(x) = \frac{-4 x-3 }{2 x+3 } \]Sie können hierzu den folgenden Lösungsweg verwenden: \[ \begin{array}{crcl} & y & = & \dfrac{-4 x-3 }{2 x+3 } \\\Leftrightarrow & (2 x+3 ) y & = & -4 x-3 \\\Leftrightarrow & ( 4 +2 y) x & = & -3 y-3 \end{array} \]

Fall: \( 4 +2 y = 0 \Leftrightarrow y = -2\)\[ \begin{array}{crcl}& ( 4 +2 y) x & = & -3 y-3 \\\Leftrightarrow & 0 & = & 3\\\Leftrightarrow & \mbox{ falsch }\end{array} \]

Fall: \( y \neq -2\)\[ \begin{array}{crcl}& ( 4 +2 y) x & = & -3 y-3 \\\Leftrightarrow & x & = & \dfrac{-3 y-3 }{4 +2 y} \\ \Leftrightarrow & \mbox{ wahr }\end{array} \]\[ \Rightarrow W = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \]

Bemerkung:

Im ersten Fall wurde gezeigt, dass die Gleichung \( y = f(x) \) für \( y = -2\) keine Lösung besitzt. Damit liegt \( -2\) nicht im Wertebereich der Funktion \( f \).

Im zweiten Fall wurde gezeigt, dass wir für \( y \neq -2\) immer eine Lösung der Gleichung \( y = f(x) \) finden können.

Formate

Stichworte

wertebereich, gebrochen rationale funktion, rationaler ausdruck, definitionsmenge, gleichung lösen, funktionsuntersuchung