MathWeb-Nullstellen

Bestimmen Sie die Vielfachheit \( n \) der Nullstelle \( x_0 = 1 \) von \[ f(x) = -x^{6}+14x^{4}-36x^{3}+39x^{2}-20x+4\] und geben Sie das Ergebnis in der Form \[ f(x) = (x-x_0)^n \cdot q(x) \] mit einem geeigneten Polynom \( q(x) \) an.

Vielfachheit einer Nullstelle bestimmen

Bestimmen Sie die Vielfachheit einer Nullstelle eines Polynoms und stellen Sie das Polynom entsprechend faktorisiert dar.

Eine Nullstelle des Polynoms \[ p(x) = x^3-5 x^2+2 x+8 \] ist Element der Menge \[ \{ -3, -2, 1, 4\}. \]

a) Bestimmen Sie in Einzelschritten alle Nullstellen des Polynoms mit Hilfe des Horner-Schemas und der pq-Formel. Geben Sie die Nullstellen in das Eingabefeld durch Kommata getrennt an. Mehrfache Nullstellen sind entsprechend ihrer Vielfachheit aufzuführen.

Nullstellen

b) Geben Sie die Linearfaktorzerlegung des Polynoms \( p(x) \) an.

Linearfaktorzerlegung

Linearfaktorzerlegung (1)

Bestimmen Sie alle Nullstellen eines Polynoms und geben Sie dessen Linearfaktorzerlegung an.

Zwei Nullstellen des Polynoms \[ p(x) = - x^4+ x^3+18 x^2-16 x-32 \] sind Elemente der Menge \[ \{ -4, -2, 1, 2\}. \]

a) Bestimmen Sie in Einzelschritten alle Nullstellen des Polynoms mit Hilfe des Horner-Schemas und der pq-Formel. Geben Sie die Nullstellen in das Eingabefeld durch Kommata getrennt an. Mehrfache Nullstellen sind entsprechend ihrer Vielfachheit aufzuführen.

Nullstellen

b) Geben Sie die Linearfaktorzerlegung des Polynoms \( p(x) \) an.

Linearfaktorzerlegung

Linearfaktorzerlegung (2)

Bestimmen Sie alle Nullstellen eines Polynoms und führen Sie anschließend die Linearfaktorzerlegung durch.

Bestimmen sie eine Linearfaktorzerlegung des Polynom \[ p(x) = 3 x^4-6 x^3-12 x^2-24 x-96 \] der Form \[ p(x) = \alpha (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \] mit \( \alpha \in \mathbb{R}\) und \( x_0,x_1,x_2,x_3 \in \mathbb{C} \).

Hinweis: eine Nullstelle ist \( 2 i\).

Linearfaktorzerlegung

Ein Polynom soll in Linearfaktoren über den komplexen Zahlen zerlegt werden.

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