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Bestimmen Sie das Taylorpolynom \(T_2(x)\) für die Funktion \( f \) mit \[ f(x) = -4\,\cos{\left(-2\,x + 1\right)}\]bezüglich der Stelle \( x_0 = 1\).

Taylorpolynom

Bestimmen Sie das Taylorpolynom \(T_2(x)\) für die Funktion \( f \) mit \[ f(x) = -4\,\cos{\left(-2\,x + 1\right)}\]bezüglich der Stelle \( x_0 = 1\).

Taylorpolynom

Von einer Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sind folgende Werte bekannt: \begin{eqnarray*}f(1) & = & -2\\f'(1) & = & 1\\f''(1) & = & 3\\f'''(1) & = & -8\\\end{eqnarray*}

a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom \(T_3\) von \(f\) um einen geeigneten Entwicklungspunkt

b) Bestimmen Sie eine Näherung für \( f(1.3) \).

\(T_3(x) = \)

\( f(1.3) = \)

Taylorpolynom (2)

Wir betrachten die abschnittsweise definierte Funktion \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) mit \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} ax^2- x+2 & ; x < -1\\ bx^3+ x^2+3 x-4 &; x \ge -1\end{array} \right. \]

Wie müssen die Parameter \( a\) und \( b \) gewählt werden, damit \(f \) auf ganz \( \mathbb{R} \) differenzierbar ist?

Geben Sie Ihr Ergebnis in der Form a = ... ; b = ... an.

Differenzierbare Funktionen

Geben Sie den Wert des Grenzwertes \[ \lim_{x \to 0}\;\frac{\sin{\left(x^{2}-x\right)}}{\ln{\left(1 + x^{2} + 4\,x\right)}}\] an.

Die Regel von l'Hospital (1)

Bestimmen Sie den Grenzwert \[ \lim_{x \to 0}\;\frac{\sin{\left(2\,x^{2}-x\right)}}{e^{2\,x^{2} + 5\,x}-1}\]

Ergebnis

Die Regel von l'Hospital (2)

Bestimmen Sie den Grenzwert \[ \lim_{x \to 0}\;\frac{2\,x^{2}-x}{\ln{\left(1 + \left(-x\right)\right)}}\]

Ergebnis

Die Regel von l'Hospital (3)

Geben Sie den Grenzwert des Grenzwertes \[ \lim_{x \to 0}\; \frac{\cos(2 x^2+4 x)-1}{ \sin(3 x^2-2 x)+3 x^2+2 x} \] an.

Die Regel von l'Hospital (4)

Bestimmen Sie alle lokalen Minima und Maxima der Funktion \( \; f : [-2, 3] \to \mathbb{R} \) gegeben durch \[ f(x) = -30x^{3}-42x^{2}+48x+6. \]

Geben Sie die von Ihnen gefundenen Extremstellen durch Komma getrennt an.

Minimalstellen

Maximalstellen

Geben Sie das Ergebnis als Liste von Punkten an :\[ (x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots , (x_n, y_n)\]

Wendepunkte (1)

Bestimmen Sie alle Wendepunkte der Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definiert durch \[ f(x) = e^{-2x^{2}+3x+1}\]

Geben Sie das Ergebnis als Liste von Punkten an :\[ (x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots , (x_n, y_n)\]

Wendepunkte (2)

Bestimmen Sie eine Wendetangente der Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definiert durch \[ f(x) = 4x^{4}-2x^{3}-x^{2}+4x-2\]

Wendetangente (1)

Bestimmen Sie eine Wendetangente der Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definiert durch \[ f(x) = 4x^{4}-2x^{3}-x^{2}+4x-2\]

Wendetangente (1)

Eine Raumkurve ist durch die Vorschrift \[ \vec{x}(t) = \left( \begin{array}{c}-5 t^3-3 t-1 \\ t^3+5 t^2- t\\-4 t^3+3 t^2-4 t+4 \end{array} \right) , \quad t \in \mathbb{R} \]gegeben. Bestimmen Sie eine Gerade \(g\), die die Raumkurve im Punkt \( \vec{x}(1)\) berührt.

\( g: \vec{x} = \)

\( \quad + \; \lambda \quad \)

\(\;, \lambda \in \mathbb{R} \)

Raumkurven

Bestimmen Sie schrittweise das Taylorpolynom 2. Grades \(T_2(x)\) für die Funktion \[ f(x) = \sin(2x) \]bezüglich der Stelle \( x_0 = 1 \) und Werten Sie dieses Polynom an der Stelle \( \frac{1}{2} \) aus. Sie können hierfür den folgenden Lösungsweg benutzen:\begin{eqnarray*} f(x) & = & \sin(2x) \\[1em]& \Rightarrow & f(1) = \sin(2) \\[1em] f'(x) & = & 2 \cos(2x) \\[1em] & \Rightarrow & f'(1) = 2 \cos(2) \\[1em] f''(x) & = & -4 \sin(2x) \\[1em] & \Rightarrow & f''(1) = -4 \sin(2) \\[1em] \Rightarrow T_2(x) & = & \sin(2) + 2 \cos(2) (x-1) - 2 \sin(2)(x-1)^2 \\[1em]\Rightarrow T_2(\frac{1}{2}) & = & \sin(2) - \cos(2) - \frac{1}{2} \sin(2) \\ & = & \frac{1}{2} \sin(2) - \cos(2)\end{eqnarray*}

Taylorpolynom mit Vorlage

Eine Raumkurve \( \vec{x}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3 \) ist durch die Vorschrift \[ \vec{x}(t) = \left( \begin{array}{c}-4 t^3-5 t^2+2 t-3 \\3 t^2+4 t-4 \\-4 t^3-3 t^2-4 t-1 \end{array} \right) \]gegeben. Geben Sie eine Gerade \(g\) an, die die Raumkurve im Punkt \( \vec{x}(2)\) berührt.

Raumkurven

Bestimmen Sie schrittweise alle lokalen Extrempunkte der Funktion \( \; f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) gegeben durch \[ f(x) = 3x^2 + 12x + 8. \]Sie können dazu die folgende Vorlage verwenden \[ \begin{array}{ll} & f(x) = 3x^2 + 12x+ 8 \\[.5em] \Rightarrow & f'(x) = 6x+12 \\[.5em] \Rightarrow & f''(x) = 6 \\[.5em] & f'(x) = 0 \\[.5em] \Leftrightarrow & 6x+12 = 0 \\[.5em]\Leftrightarrow & x = -2 \\[.5em]& f''(-2) = 6 > 0 \\[.5em]& f(-2) = -4 \\[.5em]\Rightarrow & TP(-2, -4)\end{array} \]

Bestimmen von Extrempunkten mit Vorlage

Wir betrachten die abschnittsweise definierte Funktion \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) mit \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} -2 x^2+4 x+ a & , x < -3\\[1em] -4 x^3+ bx^2-5 x-3 &, x \ge -3\end{array} \right. \]

Bestimmen Sie die Parameter \( a\) und \( b \) so, dass \(f \) auf ganz \( \mathbb{R} \) differenzierbar ist?

Differenzierbare Funktionen

Bestimmen Sie schrittweise alle lokalen Extrempunkte der Funktion \( \; f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) gegeben durch \[ f(x) = 108 x^2+144 x+52 . \]

Bestimmen von Extrempunkten

Bestimmen Sie schrittweise alle lokalen Extrempunkte der Funktion \( \; f : [-2, 2]\to \mathbb{R} \) gegeben durch \[ f(x) = 16 x^2-16 x+10 . \]

Bestimmen von Extrempunkten

Bestimmen Sie schrittweise den Wertebreich \( W\) der Funktion \( \; f : [0, 3] \to \mathbb{R} \) gegeben durch \[ f(x) = -4 x^3+30 x^2-48 x+1 . \]

Wertebereich einer Funktion

Bestimmen Sie schrittweise den Wertebereich \( W\) der Funktion \( \; f : [0, 3) \to \mathbb{R} \) gegeben durch \[ f(x) = 2 x^3-15 x^2+24 x-2 . \]

Wertebereich einer Funktion

Bestimmen Sie den Abstand des Ursprungs vom Graphen der Funktion \(f \) mit \[ f: \left\{ \begin{array}{c}\mathbb{R} \to \mathbb{R} \\x \mapsto -2 x^2- x+1 \end{array} \right. \] Geben Sie das Ergebnis auf 3 Nachkommastellen genau an!

Abstand zum Graphen

Wir betrachten die Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) gegeben durch \[ f(x) = x^2-2 x+3 \]Bestimmen Sie schrittweise alle \( x \in \mathbb{R}\), so dass \( f'(x)>0\) gilt.

Nutzen Sie dazu den folgenden Lösungsweg\[ \begin{array}{rl} & f(x) = x^2-2 x+3 \\\Rightarrow & f'(x) = 2 x-2 \end{array} \]\[ \begin{array}{rrcl} & f'(x) & > 0 \\\Leftrightarrow & 2 x-2 & > & 0 \\\Leftrightarrow & 2x & > & 2\\\Leftrightarrow & x & > & 1\end{array} \]Resultat: \( \mathbb{L} = (1,\, \infty) \)

Monotonieverhalten einer Funktion

Abstand zum Graphen

Wir betrachten die Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) gegeben durch \[ f(x) = x^3+15 x^2+72 x-12 \]Bestimmen Sie schrittweise alle \( x \in \mathbb{R}\), so dass \( f'(x)\le0\) gilt.

Monotonieverhalten einer Funktion

Bestimmen Sie den Grenzwert \[ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(-4 x)}{3 x} \]Sie können hierzu den folgenden Lösungsweg nutzen: \begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(-4 x)}{3 x} & = & \lim_{x \to 0} \frac{ -4 \cos(-4 x)}{3} \\ & = & -\frac{4}{3} \cos(0)\\ & = & -\frac{4}{3}\end{eqnarray*}

Regel von l'Hospital (1)

Bestimmen Sie den Grenzwert \[ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan{\left(2\,x^{2} + 2\,x\right)}}{\sin{\left(2\,x^{2}-4\,x\right)}}\]

Regel von l'Hospital (1)

Bestimmen Sie den Grenzwert \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos{\left(-x^{2} + 4\,x\right)}-1}{e^{x^{2} + 2\,x} + x^{2}-2\,x-1}\]

Regel von l'Hospital (2)

Gegeben ist die Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x) = x^3-6x^2-x+3 \]Bestimmen Sie die Wendetangente mit minimaler Steigung und geben Sie diese in der Form \( y = a x + b \) an.

Sie können dafür den folgenden Lösungsweg nutzen :\begin{eqnarray*} & & f(x) = x^3-6x^2-x+3 \\[1em] &\Rightarrow & f'(x) = 3x^2-12 x-1 \\[1em] &\Rightarrow & f''(x) = 6 x -12 \\[1em] &\Rightarrow & f'''(x) = 6 \\\end{eqnarray*}

\[ \begin{array}{rrcl} & f''(x) & = & 0 \\[1em] \Leftrightarrow & 6x-12 & = & 0 \\[1em] \Leftrightarrow & x & = & 2\end{array} \]\begin{eqnarray*}f'''(2) & = & 6 > 0 \\[1em]f'(2) & = & -13 \\[1em] f(2) & = & -15 \\[1em] \Rightarrow y & = & -15 -13(x-2) = -13x + 11 \end{eqnarray*}

Tangente mit minimaler Steigung und Vorlage

Gegeben ist die Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x) = x^4-12 x^3+48 x^2-4 x-2 \]Bestimmen Sie die Wendetangente mit maximaler Steigung und geben Sie diese in der Form \( y = a x + b \) an.

Tangente mit maximaler Steigung

Von einer Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sind folgende Werte bekannt: \begin{eqnarray*}f(2) & = & 1\\f'(2) & = & -2\\f''(2) & = & -1\\f'''(2) & = & 5\\\end{eqnarray*}Geben Sie das Taylorpolynom \(T_3(x)\) von \(f\) um einen geeigneten Entwicklungspunkt an.

Taylorpolynom (2)

Von einer Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sind folgende Werte bekannt: \begin{eqnarray*}f(1) & = & -2\\f'(1) & = & 1\\f''(1) & = & 2\\f'''(1) & = & 7\\\end{eqnarray*}

Geben Sie mit Hilfe eines geeigneten Taylorpolynoms eine Näherung für \( f(1{,}1) \) an.

Taylorpolynom (2b)

Von einer Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) sind folgende Werte bekannt: \begin{eqnarray*}f(1) & = & -2\\f'(1) & = & 1\\f''(1) & = & 2\\f'''(1) & = & 7\\\end{eqnarray*}

Geben Sie mit Hilfe eines geeigneten Taylorpolynoms eine Näherung für \( f(1{,}1) \) an.

Taylorpolynom (2b)

Geben Sie den Wert des Grenzwertes \[ \lim_{x \to 0}\;\frac{\sin{\left(x^{2}-x\right)}}{\ln{\left(1 + x^{2} + 4\,x\right)}}\] an.

Die Regel von l'Hospital (1)

Geben Sie den Grenzwert des Grenzwertes \[ \lim_{x \to 0}\; \frac{\cos(2 x^2+4 x)-1}{ \sin(3 x^2-2 x)+3 x^2+2 x} \] an.

Die Regel von l'Hospital (4)

Geben Sie den Wertebereich \( W\) der Funktion \( \; f : [-4; -1) \to \mathbb{R} \) mit\[ f(x) = 2 x^3+3 x^2-12 x-5 . \]in Intervallschreibweise an.

Wertebereich einer Funktion

Geben Sie den Wertebereich \( W\) der Funktion \( \; f : [-4; -1) \to \mathbb{R} \) mit\[ f(x) = 2 x^3+3 x^2-12 x-5 . \]in Intervallschreibweise an.

Wertebereich einer Funktion

Wie müssen die Parameter \( a\) und \( b \) gewählt werden, damit \(f \) auf ganz \( \mathbb{R} \) differenzierbar ist?

Geben Sie Ihr Ergebnis in der Form a = ... ; b = ... an.

Differenzierbare Funktionen

Gesucht ist eine quadratische Spline-Funktion \[ s(x) = \left\{ \begin{array}{ll}a_0 + a_1 x + a_2 x^2 &, 2\le x < 3\\b_0 + b_1 x + b_2 x^2 &, 3\le x \le 6\end{array} \right., \]die stetig differenzierbar ist und die folgenden Bedingungen erfüllt: \[s(2) = 1,\; s(3) = 3,\; s(6) =-4\mbox{ und } s'(2) = 0. \]Stellen Sie hierzu ein lineares Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten \(a_0,a_1,a_2 \) auf.

\( \, \cdot \, \displaystyle \left( \begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ b_0 \\ b_1 \\ b_2\end{array} \right) \)

\( \; = \; \)

Quadratischer Spline (2)

Gesucht ist ein quadratisches Polynom \( p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \), das die folgenden Bedingungen erfüllt: \begin{eqnarray*}p(2) & = & -4\\p(4) & = & 2\\p'(2) & = & 0\end{eqnarray*}Erstellen Sie ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten \(a_0,a_1,a_2 \).

\( \, \cdot \, \displaystyle \left( \begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \)

\( \; = \; \)

Quadratisches Polyom

Geben Sie eine ganzrationale Funktion \(f(x) \) an, die nur im Bereich \( (0, 3)\) streng monoton fallend ist.

Steigung einer Funktion

Geben Sie die Menge alle \( x \in \mathbb{R} \) an, für die die Funktion \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) gegeben durch \[ f(x) = -10x^{3}+54x^{2}-54x-8\]monoton fallend ist.

Geben Sie das Ergebnis als Intervall oder als Vereinigung von Intervallen an.

Monotonieverhalten

Geben Sie eine ganzrationale Funktion \(f(x) \) an, die nur im Bereich \( (0, 3)\) streng monoton fallend ist.

Steigung einer Funktion

Geben Sie die Menge alle \( x \in \mathbb{R} \) an, für die die Funktion \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) gegeben durch \[ f(x) = -10x^{3}+54x^{2}-54x-8\]monoton fallend ist.

Geben Sie das Ergebnis als Intervall oder als Vereinigung von Intervallen an.

Monotonieverhalten

Linearisieren Sie die Funktion \( f \) mit \[ f(x) = -3\,e^{x^{2}-3}\]an der Stelle \( x_0 = -1\).

Linearisierung

Linearisieren Sie die Funktion \( f \) mit \[ f(x) = -3\,e^{x^{2}-3}\]an der Stelle \( x_0 = -1\).