Bestimmen Sie zu der Funktion \( f \) gegeben durch \[ f(x; y) = 3 x^2-3 x+4 y+4 y^2-2 x y+ y^3 \]alle lokalen Extremstellen und geben Sie jeweils an, um welche Art von Extremum es sich dabei handelt.

Notieren Sie T(1; 2), wenn am Punkt (1; 2) ein Tiefpunkt (Minimum) vorliegt, und H(1; 2), wenn am Punkt (1; 2) ein Hochpunkt (Maximum) vorliegt.

Geben Sie Ihre Ergebnisse auf 3 Nachkommastellen genau an.

Bestimmen Sie alle möglichen Extremstellen der Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x; y) = 2 -3 x+3 y\]unter der Nebenbedingung \[ 4 x^2+3 y^2 = 3\]

Geben Sie das Ergebnis in der Form \[ (x_1; y_1); (x_2; y_2); ..; (x_n; y_n) \] an.

Gegeben ist die Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \( f(x) = \arctan{\left(x\right)}\).

Gesucht ist der Punkt (x; y) auf dem Graph von \(f\), der minimalen Abstand zu \( (1; -4)\) besitzt.

Die Aufgabe soll als Optimierungsproblem mit Nebenbedingung beschrieben werden. Stellen Sie die zugehörige Lagrange-Funktion auf. Das Problem selber soll nicht gelöst werden!

Wir betrachten eine zweimal stetig differenzierbare Funktion \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) auf der Menge \[ D = \big\{ (x; y) \in \mathbb{R}^2 : 4 x^2+4 y^2<53\big\}. \]Weiterhin ist von der Funktion Folgendes bekannt:

• \( \displaystyle \nabla f (x; y) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c} x\\y\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -3\\ 2\end{array} \right) \)
• \( \det \big( H_f(-3; 2) \big) = \left| \begin{array}{cc}4 & 0 \\ 0 & 4\end{array} \right| = 16 \)
• \( f(-3; 2) = 0\)
• Auf dem Rand von \(D\) finden wir die folgenden Extrempunkte: \[ x_1 \approx -3{,}0287; \quad y_1 \approx 2{,}0191; \quad f(x_1; y_1) \approx 0{,}0024\]und\[ x_2 \approx 3{,}0287; \quad y_2 \approx -2{,}0191; \quad f(x_2; y_2) \approx 104{,}9968\]

Gesucht ist die Menge \[ W = \Big\{ f(x; y) : (x; y) \in D \Big\} \]aller Funktionswerte von \(f\), die angenommen werden, wenn wir \( f \) nur auf \(D\) betrachten?

Geben Sie die Menge W als Intervall an.

Geben Sie das Ergebnis auf 3 Nachkommastellen genau an.

Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion \( f: D \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x; y) = -3 x^2-18 x-3 y^2-18 y-54 \] und \[ D = \big\{ (x; y) \in \mathbb{R}^2 : 9 x^2+9 y^2<163\big\}. \]

Geben Sie das Ergebnis auf 3 Nachkommastellen genau an.

Geben Sie das Ergebnis als Intervall an.

Bestimmen Sie mit Hilfe des Verfahrens der Langrange-Multiplikatoren alle möglichen Extremstellen der Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x,y) = 5 +3 x-2 y\]unter der Nebenbedingung \[ x^2+4 y^2 = 2.\]Geben Sie das Ergebnis in der Form \[ (x_1,y_1,\lambda_1),\ldots, (x_n, y_n, \lambda_n) \] an.