Bestimmen Sie zu der Funktion \( f \) gegeben durch \[ f(x,y) = -4 x^2-2 y+2 y^2+4 x y+1 +3 y^3 \]alle lokalen Extremstellen und geben Sie jeweils an, um welche Art von Extremum es sich dabei handelt.

Notieren Sie T(1,2), wenn am Punkt (1,2) ein Tiefpunkt (Minimum) vorliegt, und H(1,2), wenn am Punkt (1,2) ein Hochpunkt (Maximum) vorliegt.

Geben Sie Ihre Ergebnisse auf 3 Nachkommastellen genau an.

Bestimmen Sie zu der Funktion \( f \) gegeben durch \[ f(x,y) = -4 x^2-2 y+2 y^2+4 x y+1 +3 y^3 \]alle lokalen Extremstellen und geben Sie jeweils an, um welche Art von Extremum es sich dabei handelt.

Notieren Sie T(1,2), wenn am Punkt (1,2) ein Tiefpunkt (Minimum) vorliegt, und H(1,2), wenn am Punkt (1,2) ein Hochpunkt (Maximum) vorliegt.

Geben Sie Ihre Ergebnisse auf 3 Nachkommastellen genau an.

Bestimmen Sie alle möglichen Extremstellen der Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x,y) = 2 -5 x+5 y\]unter der Nebenbedingung \[ 4 x^2+2 y^2 = 1\]

Geben Sie das Ergebnis in der Form \[ (x_1, y_1), (x_2,y_2), .., (x_n, y_n) \] an.

Bestimmen Sie alle möglichen Extremstellen der Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x,y) = 2 -5 x+5 y\]unter der Nebenbedingung \[ 4 x^2+2 y^2 = 1\]

Geben Sie das Ergebnis in der Form \[ (x_1, y_1), (x_2,y_2), .., (x_n, y_n) \] an.

Wir betrachten eine zweimal stetig differenzierbare Funktion \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) auf der Menge \[ D = \big\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : 6 x^2+6 y^2<61\big\}. \]Weiterhin ist von der Funktion Folgendes bekannt:

• \( \displaystyle \nabla f (x,y) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c} x\\y\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -1\\ -3\end{array} \right) \)
• \( \det \big( H_f(-1, -3) \big) = \left| \begin{array}{cc}4 & 0 \\ 0 & 4\end{array} \right| = 16 \)
• \( f(-1, -3) = -3\)
• Auf dem Rand von \(D\) finden wir die folgenden Extrempunkte: \[ x_1 \approx -1.0083, y_1 \approx -3.0249, f(x_1,y_1) \approx -2.9986\]und\[ x_2 \approx 1.0083, y_2 \approx 3.0249, f(x_2,y_2) \approx 77.6654\]

Gesucht ist die Menge \[ W = \Big\{ f(x,y) : (x,y) \in D \Big\} \]aller Funktionswerte von \(f\), die angenommen werden, wenn wir \( f \) nur auf \(D\) betrachten?

Geben Sie die Menge W als Intervall an.

Geben Sie das Ergebnis auf 3 Nachkommastellen genau an.

Wir betrachten eine zweimal stetig differenzierbare Funktion \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) auf der Menge \[ D = \big\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : 6 x^2+6 y^2<61\big\}. \]Weiterhin ist von der Funktion Folgendes bekannt:

• \( \displaystyle \nabla f (x,y) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c} x\\y\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -1\\ -3\end{array} \right) \)
• \( \det \big( H_f(-1, -3) \big) = \left| \begin{array}{cc}4 & 0 \\ 0 & 4\end{array} \right| = 16 \)
• \( f(-1, -3) = -3\)
• Auf dem Rand von \(D\) finden wir die folgenden Extrempunkte: \[ x_1 \approx -1.0083, y_1 \approx -3.0249, f(x_1,y_1) \approx -2.9986\]und\[ x_2 \approx 1.0083, y_2 \approx 3.0249, f(x_2,y_2) \approx 77.6654\]

Gesucht ist die Menge \[ W = \Big\{ f(x,y) : (x,y) \in D \Big\} \]aller Funktionswerte von \(f\), die angenommen werden, wenn wir \( f \) nur auf \(D\) betrachten?

Geben Sie die Menge W als Intervall an.

Geben Sie das Ergebnis auf 3 Nachkommastellen genau an.

Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion \( f: D \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x,y) = -2 x^2+12 x-2 y^2-8 y-27 \] und \[ D = \big\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : 4 x^2+4 y^2<54\big\}. \]

Geben Sie das Ergebnis auf 3 Nachkommastellen genau an.

Geben Sie das Ergebnis als Intervall an.

Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion \( f: D \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x,y) = -2 x^2+12 x-2 y^2-8 y-27 \] und \[ D = \big\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : 4 x^2+4 y^2<54\big\}. \]

Geben Sie das Ergebnis auf 3 Nachkommastellen genau an.

Geben Sie das Ergebnis als Intervall an.

Bestimmen Sie mit Hilfe des Verfahrens der Langrange-Multiplikatoren alle möglichen Extremstellen der Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x,y) = 5 +3 x-2 y\]unter der Nebenbedingung \[ x^2+4 y^2 = 2.\]Geben Sie das Ergebnis in der Form \[ (x_1,y_1,\lambda_1),\ldots, (x_n, y_n, \lambda_n) \] an.

Bestimmen Sie mit Hilfe des Verfahrens der Langrange-Multiplikatoren alle möglichen Extremstellen der Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x,y) = 5 +3 x-2 y\]unter der Nebenbedingung \[ x^2+4 y^2 = 2.\]Geben Sie das Ergebnis in der Form \[ (x_1,y_1,\lambda_1),\ldots, (x_n, y_n, \lambda_n) \] an.

Gegeben ist die Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \( f(x) = \sin{\left(x\right)}\).

Gesucht ist der Punkt (x,y) auf dem Graph von \(f\), der minimalen Abstand zu \(\big(2,-1\big)\) besitzt.

Die Aufgabe soll als Optimierungsproblem mit Nebenbedingung beschrieben werden. Stellen Sie die zugehörige Lagrange-Funktion auf. Das Problem selber soll nicht gelöst werden!

Gegeben ist die Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \( f(x) = \sin{\left(x\right)}\).

Gesucht ist der Punkt (x,y) auf dem Graph von \(f\), der minimalen Abstand zu \(\big(2,-1\big)\) besitzt.

Die Aufgabe soll als Optimierungsproblem mit Nebenbedingung beschrieben werden. Stellen Sie die zugehörige Lagrange-Funktion auf. Das Problem selber soll nicht gelöst werden!