MathWeb-Linearisierung

Bestimmen Sie die Linearisierung \( T(x,y) \) der Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) gegeben durch \[ f(x,y) = -4 x^2+4 y^2+3 xy+2 x+4 y+2 \]an der Stelle (-1, -3).

Nutzen Sie hierzu den folgenden Lösungsweg: \begin{eqnarray*} f(-1,-3) & = & 29\\[1em] f_x(x,y) & = & -8 x+3 y+2 \\[1em] \Rightarrow \; f_x(-1,-3) & = & 8 -9 +2 = 1\\[1em] f_y(x,y) & = & 3 x+8 y+4 \\[1em] \Rightarrow \; f_y(-1,-3) & = &-3 -24 +4 = -23\\[1em]\Rightarrow \; T(x,y) & = & 29 + ( x+1 )-23 ( y+3 )\end{eqnarray*}

Linearisierung mit Lösung

Bestimmen Sie die Linearisierung \( T(x,y) \) der Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) gegeben durch \[ f(x,y) = 2 x^2+ y^2+ xy+3 y-1 \]an der Stelle (3, 2).

Geben Sie alle notwendigen Zwischenschritte an

Linearisierung

Die Oberfläche eines Körpers wird durch die Vorschrift \[ f(x,y) = 3 x^2+4 y^2+ xy+ x-3 y-2 \]beschrieben. Bestimmen Sie einen Normalenvektor \( \vec{n} \) der Oberfläche an der Stelle \( (-2,-1) \).

Geben Sie alle notwendigen Zwischenschritte an.

Normalenvektor

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \[f(x,y) = \arctan{\left(2\,x^{2} + y^{2} + 3\,x + 2\right)}. \]Schätzen Sie mit Hilfe einer geeignete Linearisierung den Auswertungsfehler \[ \big| \; f(x,y) - f(1, 4) \, \big| \] für \( \big| 1-x \big| \le 0.125 \) und \( \big| 4- y\big| \le 0.175 \) möglichst genau ab.

Fehlerabschätzung

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \[f(x,y) = \arctan{\left(2\,x^{2} + y^{2} + 3\,x + 2\right)}. \]Schätzen Sie mit Hilfe einer geeignete Linearisierung den Auswertungsfehler \[ \big| \; f(x,y) - f(1, 4) \, \big| \] für \( \big| 1-x \big| \le 0.125 \) und \( \big| 4- y\big| \le 0.175 \) möglichst genau ab.

Fehlerabschätzung

Bestimmen Sie die Linearisierung der Funktion \( f \) gegeben durch \[ f(x,y,z) = \cosh{\left(-3\,x-2\,z-2\,y\,z\right)} \]an der Stelle (-4, 3, 2).

Linearisierung (R^3)

Bestimmen Sie die Linearisierung der Funktion \( f \) gegeben durch \[ f(x,y,z) = \cosh{\left(-3\,x-2\,z-2\,y\,z\right)} \]an der Stelle (-4, 3, 2).

Linearisierung (R^3)

Bestimmen Sie die Linearisierung der Funktion \( f \) gegeben durch \[ f(x,y) = -2 x^2+3 y^2-4 xy-4 x+ y-4 \]an der Stelle (-1, 2).

Linearisierung (R^2)

Bestimmen Sie die Linearisierung der Funktion \( f \) gegeben durch \[ f(x,y) = -2 x^2+3 y^2-4 xy-4 x+ y-4 \]an der Stelle (-1, 2).

Linearisierung (R^2)

Gegeben sind die Funktionswerte einer Funktion \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) und die partiellen Ableitungen über die folgenden Tabellen \[ f(x,y): \begin{array}{r|rrrrr} y \setminus x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline -2 & 4 & 3 & -2 & -11 & -24\\-1 & 3 & 4 & 1 & -6 & -17\\0 & -2 & 1 & 0 & -5 & -14\\1 & -11 & -6 & -5 & -8 & -15\\2 & -24 & -17 & -14 & -15 & -20\\\end{array} \qquad f_x(x,y): \begin{array}{r|rrrrr} y \setminus x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline -2 & 1 & -3 & -7 & -11 & -15\\-1 & 3 & -1 & -5 & -9 & -13\\0 & 5 & 1 & -3 & -7 & -11\\1 & 7 & 3 & -1 & -5 & -9\\2 & 9 & 5 & 1 & -3 & -7\\\end{array} \qquad f_y(x,y): \begin{array}{r|rrrrr} y \setminus x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline -2 & 1 & 3 & 5 & 7 & 9\\-1 & -3 & -1 & 1 & 3 & 5\\0 & -7 & -5 & -3 & -1 & 1\\1 & -11 & -9 & -7 & -5 & -3\\2 & -15 & -13 & -11 & -9 & -7\\\end{array} \]Bestimmen Sie daraus die Linearisierung von \( f\) bezüglich der Entwicklungsstelle (2, -2).

Linearisierung (Tabelle)

Gegeben sind die Funktionswerte einer Funktion \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) und die partiellen Ableitungen über die folgenden Tabellen \[ f(x,y): \begin{array}{r|rrrrr} y \setminus x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline -2 & 4 & 3 & -2 & -11 & -24\\-1 & 3 & 4 & 1 & -6 & -17\\0 & -2 & 1 & 0 & -5 & -14\\1 & -11 & -6 & -5 & -8 & -15\\2 & -24 & -17 & -14 & -15 & -20\\\end{array} \qquad f_x(x,y): \begin{array}{r|rrrrr} y \setminus x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline -2 & 1 & -3 & -7 & -11 & -15\\-1 & 3 & -1 & -5 & -9 & -13\\0 & 5 & 1 & -3 & -7 & -11\\1 & 7 & 3 & -1 & -5 & -9\\2 & 9 & 5 & 1 & -3 & -7\\\end{array} \qquad f_y(x,y): \begin{array}{r|rrrrr} y \setminus x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline -2 & 1 & 3 & 5 & 7 & 9\\-1 & -3 & -1 & 1 & 3 & 5\\0 & -7 & -5 & -3 & -1 & 1\\1 & -11 & -9 & -7 & -5 & -3\\2 & -15 & -13 & -11 & -9 & -7\\\end{array} \]Bestimmen Sie daraus die Linearisierung von \( f\) bezüglich der Entwicklungsstelle (2, -2).

Linearisierung (Tabelle)

Bestimmen Sie die Tangentialebene der Funktion \( f \) gegeben durch \[ f(x,y) = \sqrt{2\,x^{2}-3\,y^{2} + 2\,x-y + 1} \]an der Stelle (2, 1).

Tangentialebene

Bestimmen Sie die Tangentialebene der Funktion \( f \) gegeben durch \[ f(x,y) = \sqrt{2\,x^{2}-3\,y^{2} + 2\,x-y + 1} \]an der Stelle (2, 1).

Tangentialebene

Berechnen Sie die Tangentialebene \( E \) der Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) gegeben durch \[ f(x,y) = -2 x^2-4 y^2+ x+3 y-1 \]an der Stelle \( (-2,1) \).

Geben Sie das Ergebnis in Koordinatenform an und schreiben Sie alle notwendigen Zwischenschritte auf.

Tangentialebene