MathWeb-Linearisierung

Bestimmen Sie die Tangentialebene der Funktion \( f \) gegeben durch \[ f(x,y) = \sqrt{2\,x^{2}-3\,y^{2} + 2\,x-y + 1} \]an der Stelle (2, 1).

Tangentialebene

Bestimmen Sie die Tangentialebene an den Graphen einer Funktion mehrerer Variablen in einem vorgegebenen Punkt.

Die Oberfläche eines Körpers wird durch die Vorschrift \[ f(x, y) = 3 x^2-4 y^2+ xy+5 x-3 y+3 \]beschrieben. Bestimmen Sie einen Normalenvektor \( \vec{n} \) der Oberfläche an der Stelle \( (2, -1) \).

Geben Sie alle notwendigen Zwischenschritte an.

Normalenvektor

Bestimmen eines Normalenvektors zu einer durch eine Funktion beschriebenen Oberfläche an einem Punkt.

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \[f(x; y) = \frac{1}{3\,x\,y + 4\,y^{2} + 2\,x + 1}. \]Schätzen Sie mit Hilfe einer geeignete Linearisierung den Auswertungsfehler \[ \big| \; f(x; y) - f(1; 4) \, \big| \] für \( \big| 1-x \big| \le 0{,}1 \) und \( \big| 4- y\big| \le 0{,}275 \) möglichst genau ab.

Fehlerabsch&auml;tzung

Schätzen Sie den Auswertungsfehler einer Funktion mehrerer Variablen mittels Linearisierung ab.

Bestimmen Sie die Linearisierung der Funktion \( f \) gegeben durch \[ f(x,y,z) = \cosh{\left(-3\,x-2\,z-2\,y\,z\right)} \]an der Stelle (-4, 3, 2).

Linearisierung (R^3)

Bestimmen Sie die Linearisierung einer Funktion mit drei Variablen an einer gegebenen Stelle.

Bestimmen Sie die Linearisierung der Funktion \( f \) gegeben durch \[ f(x,y) = -2 x^2+3 y^2-4 xy-4 x+ y-4 \]an der Stelle (-1, 2).

Linearisierung (R^2)

Bestimmen Sie die Linearisierung einer Funktion mehrerer Variablen an einer vorgegebenen Stelle.

Bestimmen Sie die Linearisierung \( T(x, y) \) der Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) gegeben durch \[ f(x, y) = -4 x^2+4 y^2+3 xy+2 x+4 y+2 \]an der Stelle (-1, -3).

Nutzen Sie hierzu den folgenden Lösungsweg: \begin{eqnarray*} f(-1, -3) & = & 29\\[1em] f_x(x , y) & = & -8 x+3 y+2 \\[1em] \Rightarrow \; f_x(-1, -3) & = & 8 -9 +2 = 1\\[1em] f_y(x, y) & = & 3 x+8 y+4 \\[1em] \Rightarrow \; f_y(-1, -3) & = &-3 -24 +4 = -23\\[1em]\Rightarrow \; T(x, y) & = & 29 + ( x+1 )-23 ( y+3 )\end{eqnarray*}

Linearisierung mit Lösung

Bestimmen Sie die Linearisierung einer Funktion mehrerer Variablen an einer vorgegebenen Stelle.

Bestimmen Sie die Linearisierung \( T(x, y) \) der Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) gegeben durch \[ f(x, y) = 2 x^2-4 y^2+ xy- x+2 y+2 \]an der Stelle (2, 1).

Geben Sie alle notwendigen Zwischenschritte an

Linearisierung

Bestimmen Sie die Linearisierung einer Funktion mehrerer Variablen an einem gegebenen Punkt.

Gegeben sind die Funktionswerte einer Funktion \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) und die partiellen Ableitungen über die folgenden Tabellen \[ f(x; y): \begin{array}{r|rrrrr} y \setminus x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline -2 & -25 & -20 & -13 & -4 & 7\\-1 & -7 & -6 & -3 & 2 & 9\\0 & 5 & 2 & 1 & 2 & 5\\1 & 11 & 4 & -1 & -4 & -5\\2 & 11 & 0 & -9 & -16 & -21\\\end{array} \qquad f_x(x; y): \begin{array}{r|rrrrr} y \setminus x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline -2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12\\-1 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8\\0 & -4 & -2 & 0 & 2 & 4\\1 & -8 & -6 & -4 & -2 & 0\\2 & -12 & -10 & -8 & -6 & -4\\\end{array} \qquad f_y(x; y): \begin{array}{r|rrrrr} y \setminus x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline -2 & 21 & 17 & 13 & 9 & 5\\-1 & 15 & 11 & 7 & 3 & -1\\0 & 9 & 5 & 1 & -3 & -7\\1 & 3 & -1 & -5 & -9 & -13\\2 & -3 & -7 & -11 & -15 & -19\\\end{array} \]Bestimmen Sie daraus die Linearisierung von \( f\) bezüglich der Entwicklungsstelle (-2; 2).

Linearisierung (Tabelle)

Bestimmen Sie die Linearisierung einer Funktion zweier Variablen anhand tabellarisch gegebener Werte und partieller Ableitungen.

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