MathWeb-Beispiele

Überführen Sie die komplexe Gleichung \[ (3 -3 i) z -5 \overline{z} = -3 +4 i\] mit den Ansatz \( z = x + i y \) in ein lineares Gleichungssystem

\( \, \cdot \, \displaystyle \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \)

\( \; = \; \)

Gleichungssystem aufstellen

Eine komplexe Gleichung soll in ein lineares Gleichungssystem mit Real- und Imaginärteil überführt werden.

Zur Herstellung der Produkte A, B und C werden die Rohstoffe X, Y und Z gemäß der folgenden Tabelle benötigt (Angaben in kg). \[ \begin{array}{r|rrr} & X & Y & Z \\ \hline A & 12&5& 2\\ B & 12&7& 6\\ C & 5&10& 5\end{array} \]Insgesamt sind 125kg vom Rohstoff X, 80kg vom Rohstoff Y und 64kg vom Rohstoff Z vorhanden. Wie viele Produkte A, B und C können hergestellt werden, wenn damit alle Rohstoffe aufgebraucht werden.

Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem zur Lösung dieser Fragestellung auf.

Verwenden Sie hierzu a für Anzahl Produkte A, b : Anzahl Produkte B, ... z : Anzahl Rohstoffe Z.

Gleichungssystem aufstellen (2)

Ein lineares Gleichungssystem aus einer Ressourcenverteilungssituation aufstellen.

Gegeben sind die drei Punkte \[ P_1(14, 21, 7), \; P_2(0, -2, 10) \mbox{ und } P_3(-7, -7, -21) \] mit den Massen \(m_1, m_2 \) und \(m_3\).

Wie müssen die drei Massen gewählt werden, damit der Schwerpunkt des Systems bei \( (0,0,0) \) liegt?

Stellen Sie ein geeignetes lineares Gleichungssystem dafür auf.

Hinweis:

Der Schwerpunkt \( (x_s, y_s, z_s) \) des Systems kann mit der folgenden Formel bestimmt werden: \[ x_s = \frac{1}{m} \sum_{k=1}^3 m_i x_i, \; y_s = \frac{1}{m} \sum_{k=1}^3 m_i y_i\; \mbox{ und } \; z_s = \frac{1}{m} \sum_{k=1}^3 m_i z_i\; \mbox{ mit } \; m = \sum_{k=1}^3 m_i. \]

Geben Sie die Massen in der Form m_1, m_2 und m_3 an.

Gleichungssystem aufstellen (3)

Ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung von Massen für einen vorgegebenen Schwerpunkt aufstellen.

Überführen Sie das lineare Gleichungssystem \begin{eqnarray*}3 ( x_1-4 x_2)-2 x_3 & = & - ( x_3+3 x_2)+4 \\ 3 x_1+ x_2+3 x_3-5 & = & 4 x_2- x_3-3 \\ -5 x_1+4 x_2+ x_3+3 & = & -5 x_1-5 x_2+ x_3-3 \\ \end{eqnarray*}in die Form \[ A \vec{x} = \vec{b} \]

A =

\( \vec{b} = \)

LGS in Matrizenform überführen

Ein lineares Gleichungssystem soll in die Matrizenform überführt werden.

Überführen Sie das lineare Gleichungssystem \begin{eqnarray*}- x_1-3 x_2- x_3-3 & = & - x_1-4 x_2- x_3-5 \\ 3 ( x_1+3 x_2)+3 x_3 & = & -5 ( x_3-3 x_2)\\ - x_3-2 ( x_2- x_1)-5 & = & 5 x_1-1 \\ \end{eqnarray*}in die Form \[ A \vec{x} = \vec{b} \]mit dem Vektor \( \vec{x} = (x_1,x_2,x_3)^\top \)

LGS in Matrizenform &uuml;berf&uuml;hren

Bringen Sie ein lineares Gleichungssystem in die Matrizenform mit Variablenvektor.

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem \begin{eqnarray*}-2 x_3-2 ( x_2+3 x_1)+1 & = & 2 x_1-5 \\ ( x_1-5 x_2)- x_3 & = & 0\\ 4 x_3+ ( x_2+ x_1)+5 & = & - x_1+4 \\ \end{eqnarray*}Schreiben Sie dieses Gleichungssystem in kompakter Form \[ ( A \, | \, \vec{b} ) \]