Wertebereich

Bestimmen Sie den Wertebereich \( W_f \) der Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), die durch die Funktionsgleichung \[ y = 3\,\sin{\left(2\,x + 5\right)}-2 \] gegeben ist.

Bestimmen Sie schrittweise den Wertebereich \( W \) der Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x) = 3 x^2+2 \]Sie können hierzu den folgenden Lösungsweg verwenden: \[ \begin{array}{crcl} & y & = & f(x) \\\Leftrightarrow & y & = & 3 x^2+2 \\\Leftrightarrow & y-2 & = & 3 x^2\\\Leftrightarrow & \frac{1}{3} ( y-2 )& = & x^2 \\\Leftrightarrow & \frac{1}{3} ( y-2 ) & \ge & 0 \\ \Leftrightarrow & y-2 & \ge & 0 \\ \Leftrightarrow & y & \ge & 2\end{array} \]\[ \Rightarrow W = [2, \infty) \]

Bestimmen Sie den Wertebereich \( W \) der Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x) = x^2+6 x+4 \]

Bestimmen Sie schrittweise den Wertebereich \( W \) der Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x) = -3 x^2+3 x-3 \]

Bestimmen Sie schrittweise den Wertebereich \( W \) der Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x) = \frac{5}{ x^2+4 } \] Sie können dabei \( y \neq 0 \) voraussetzen.

Bestimmen Sie den Wertebereich \( W \) der Funktion \( f: D_f \to \mathbb{R} \) mit \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{ -\frac{3}{2}\} \] und \[ f(x) = \frac{-4 x-3 }{2 x+3 } \]Sie können hierzu den folgenden Lösungsweg verwenden: \[ \begin{array}{crcl} & y & = & \dfrac{-4 x-3 }{2 x+3 } \\\Leftrightarrow & (2 x+3 ) y & = & -4 x-3 \\\Leftrightarrow & ( 4 +2 y) x & = & -3 y-3 \end{array} \]

Fall: \( 4 +2 y = 0 \Leftrightarrow y = -2\)\[ \begin{array}{crcl}& ( 4 +2 y) x & = & -3 y-3 \\\Leftrightarrow & 0 & = & 3\\\Leftrightarrow & \mbox{ falsch }\end{array} \]

Fall: \( y \neq -2\)\[ \begin{array}{crcl}& ( 4 +2 y) x & = & -3 y-3 \\\Leftrightarrow & x & = & \dfrac{-3 y-3 }{4 +2 y} \\ \Leftrightarrow & \mbox{ wahr }\end{array} \]\[ \Rightarrow W = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \]

Bemerkung:

Im zweiten Fall wurde gezeigt, dass wir für \( y \neq -2\) immer eine Lösung der Gleichung \( y = f(x) \) finden können.

Bestimmen Sie den Wertebereich \( W \) der Funktion \( f: D_f \to \mathbb{R} \) mit \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{ -2\} \] und \[ f(x) = \frac{- x-4 }{-2 x-4 } \]

Bestimmen Sie schrittweise den Wertebereich \( W \) der Funktion \( f: \mathbb{R} \setminus \{ 1, -5\} \to \mathbb{R} \), die durch die Funktionsgleichung \[ y = \frac{4}{ ( x-1 )( x+5 )} \] gegeben ist. Sie können dabei \( y \neq 0 \) voraussetzen.

Bestimmen Sie den Wertebereich \( W \) der Funktion \( f: \mathbb{R} \setminus \{ -5, 5\} \to \mathbb{R} \), die durch die Funktionsgleichung \[ y = \frac{2}{ ( x+5 )( x-5 )} \] gegeben ist. Sie können dabei \( y \neq 0 \) voraussetzen.

Bestimmen Sie schrittweise den Wertebereich \( W \) der Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), die durch die Funktionsgleichung \[ y = \sin(2 x)-3 \] gegeben ist.

Sie können hierzu den folgenden Lösungsweg verwenden: \[ \begin{array}{crcll} & y & = & \sin(2 x)-3 \\\Leftrightarrow & \sin(2 x) & = & y+3 \\\Leftrightarrow & | y+3 | & \le & 1 \\\Leftrightarrow & y+3 \ge -1 & \wedge & y+3 \le 1 \\\Leftrightarrow & y \ge -4 & \wedge & y \le -2\end{array} \]\[ \Rightarrow W = [-4, -2] \]

Bemerkung
Der Sinus nimmt nur Werte zwischen -1 und 1 an

Bestimmen Sie schrittweise den Wertebereich \( W \) der Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), die durch die Funktionsgleichung \[ y = 3 \sin(2 x-2 )+3 \] gegeben ist.

Bestimmen Sie den Wertebereich \( W \) der Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), die durch die Funktionsgleichung \[ y = -2 \cos(4 x-5 )+6 \] gegeben ist.