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Ein Abklingprozess wird wird durch die Funktion \[ y = A e^{\lambda x} \] beschrieben. Bestimmen Sie die Parameter \(A\) und \( \lambda \) anhand der folgenden Werte \[ \begin{array}{r|r} x & y \\ \hline5.6 & 68\\14.1 & 55\\\end{array} \] Geben Sie das Ergebnis in der Form \[ y = A e^{\lambda x} \] Runden Sie, falls nötig, die Ergebnisse auf drei Nachkommastellen.
Parameter einer Abklingkurve bestimmen
Bestimmen Sie die Parameter einer Exponentialfunktion anhand gegebener Funktionswerte.
Von einer verallgemeinerten Sinusfunktion \[ y = A \sin(\omega x + \varphi) \] sind die ersten beiden positiven Nullstellen \( x_0 = 57^\circ \) und \( x_1 = 188^\circ\) sowie der Wert \( f(112^\circ) = 1.6\) bekannt.

Bestimmen Sie die Parameter \(A> 0, \omega>0 \) und \( \varphi \in (-\pi, \pi] \).

Geben Sie das Erebnis in der Form
A = ..
\( \varphi = ... \)
\( \omega = ... \)
an

Hinweis: Wenn Sie Ergebnisse näherungsweise angeben, schreiben Sie Ihre Ergebnisse mit drei Nachkommastellen auf... und beachten Sie die Schreibweise 3.1415

Parameter einer Sinusschwingung bestimmen
Bestimmen Sie die Parameter einer Sinusfunktion anhand gegebener Nullstellen und eines Funktionswerts.
Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Funktion \[ y = A e^{\lambda x} \sin(\omega x + \varphi) \] beschrieben. Bestimmen Sie die Parameter \( \omega, \varphi, A\) und \( \lambda \) anhand der folgenden Tabelle \[ \begin{array}{r|r} x & y \\ \hline0 & -27.9627\\2 & 0\\3.375 & 1.2661\\4.75 & 0\\\end{array} \]

Geben Sie das Erebnis in der Form
A = ...
\( \varphi = ... \)
\( \omega = ... \)
\( \lambda = ... \)
an

Hinweis: Wenn Sie Ergebnisse näherungsweise angeben, schreiben Sie Ihre Ergebnisse mit drei Nachkommastellen auf.

Parameter einer gedämpften Sinusschwingung bestimmen
Bestimmen Sie die Parameter einer gedämpften Sinusschwingung anhand gegebener Funktionswerte.
Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Funktion \[ y = A e^{\lambda x} \sin(\omega x + \varphi) \] beschrieben. Bestimmen Sie die Parameter \( \omega, \varphi, A\) und \( \lambda \) anhand der folgenden Tabelle \[ \begin{array}{r|r} x & y \\ \hline0 & -41.2214\\1.5 & 0\\2.6 & 6.1216\\3.7 & 0\\\end{array} \] Geben Sie die Werte auf drei Nachkommastellen genau an.
\(\omega =\)
\(\varphi =\)
\(\lambda =\)
\(A =\)
Gedämpfte Schwingung
Bestimmen Sie die Parameter einer gedämpften Schwingungsfunktion anhand gegebener Funktionswerte.
Von einer verallgemeinerte Sinusfunktionn, die die Form \[ y = A \sin(\omega x + \varphi) \] hat, sind die ersten beiden nicht negativen Nullstellen \(x_0\) und \( x_1 \) ( \( x_0 < x_1 \) ), die Kreisfrequenz \( \omega \) und die Phasenverschiebung \( \varphi \) bekannt.

Weiterhin kennen Sie eine Stelle \( x_2 \in (x_0,x_1) \) mit dem zugehörigen Funktionswert \( y_2 > 0\).

Bestimmen Sie damit eine Formel für die Amplitude \( A \)

Rekonstruktion einer Sinusschwingung (3)
Die Amplitude einer verallgemeinerten Sinusfunktion ist aus Nullstellen, Kreisfrequenz, Phase und Funktionswert zu bestimmen.