In dieser Aufgabe soll der Wertebereich einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion bestimmt werden, die auf einer offenen, durch eine Ungleichung definierten Teilmenge des zweidimensionalen Raums gegeben ist. Es sind Informationen über das Verhalten der Funktion im Inneren und am Rand der Definitionsmenge, insbesondere zu Extremstellen und Randextremen, bekannt. Ziel ist es, auf Basis dieser Angaben das Intervall aller Funktionswerte anzugeben, die die Funktion auf der betrachteten Menge annimmt.
Beispiel
Wir betrachten eine zweimal stetig differenzierbare Funktion \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) auf der Menge \[ D = \big\{ (x; y) \in \mathbb{R}^2 : 4 x^2+4 y^2<53\big\}. \]Weiterhin ist von der Funktion Folgendes bekannt:
- \( \displaystyle \nabla f (x; y) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c} x\\y\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -3\\ 2\end{array} \right) \)
- \( \det \big( H_f(-3; 2) \big) = \left| \begin{array}{cc}4 & 0 \\ 0 & 4\end{array} \right| = 16 \)
- \( f(-3; 2) = 0\)
- Auf dem Rand von \(D\) finden wir die folgenden Extrempunkte: \[ x_1 \approx -3{,}0287; \quad y_1 \approx 2{,}0191; \quad f(x_1; y_1) \approx 0{,}0024\]und\[ x_2 \approx 3{,}0287; \quad y_2 \approx -2{,}0191; \quad f(x_2; y_2) \approx 104{,}9968\]
Geben Sie die Menge W als Intervall an.
Geben Sie das Ergebnis auf 3 Nachkommastellen genau an.
Formate
Stichworte
wertebereich, zweidimensionale funktionen, offene mengen, extremstellen, randwerte, differenzierbarkeit, intervall