Determinanten

Berechnen Sie die Determinante der Matrix \[ A = \left (\begin{array}{rrr}3&-2&-5\\1&-3&5\\5&3&1\end{array} \right)\]

Regel von Sarrus

Berechnen Sie die Determinante einer Matrix der Größe 3 × 3 mit Hilfe der Regel von Sarrus.

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Geben Sie die Determinante der Matrix \[ A = \left (\begin{array}{rrrr}4&-5&-2&-3\\0&5&2&-5\\0&0&2&3\\0&0&0&2\end{array} \right)\] an.

Determinante einer 4 x 4 Matrix (1)

Berechnen Sie die Determinante einer quadratischen Matrix mit spezieller Struktur.

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Determinante einer n x n Matrix

Berechnen Sie die Determinante einer quadratischen Matrix mit beliebiger Dimension.

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Geben Sie die Determinante der Matrix \[ A = \left (\begin{array}{rrrrr}0&0&-4&0&-1\\0&-5&2&-1&-1\\0&0&-2&5&-2\\0&0&5&0&0\\-4&1&5&3&-3\end{array} \right)\] an.

Determinante einer n x n Matrix (2)

Berechnen Sie die Determinante einer quadratischen Matrix.

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Berechnen Sie die Determinante der Matrix \[ A = \left (\begin{array}{rrrr}1&5&2&5\\3&11&5&18\\6&38&9&25\\-2&-42&23&4\end{array} \right)\]

Ergebnis

Determinante einer n x n Matrix (3)

Bestimmen Sie die Determinante einer quadratischen Matrix mit beliebiger Dimension.

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Berechnen Sie die Determinante der Matrix \( A = \left (\begin{array}{rr}-2&-1\\-1&-2\end{array} \right)\).

Determinante einer 2x2 Matrix

Berechnen Sie die Determinante einer Matrix mit zwei Zeilen und zwei Spalten.

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Bestimmen Sie schrittweise \[ \left| \begin{array}{rr}5 & 7\\-6 & 4\end{array} \right| \]Sie können hierzu den folgenden Lösungsweg verwenden: \begin{eqnarray*} \left| \begin{array}{rr} 5 & 7\\-6 & 4\end{array} \right| & = & 5 \cdot 4-(-6) \cdot 7\\[.5em] & = & 62\end{eqnarray*}

Determinante einer 2x2 Matrix mit Lösung

Berechnen Sie die Determinante einer 2x2 Matrix.

rule Herleitung

Bestimmen Sie schrittweise \[ \left| \begin{array}{rr}2 & -7\\4 & -5\end{array} \right| \]

Determinante einer 2x2 Matrix

Berechnen Sie die Determinante einer gegebenen 2x2 Matrix.

rule Herleitung

Werten Sie die Determinante \[ \left| \begin{array}{cc}-7 & -7 +2 u\\2 - u & -5 \end{array} \right| \]schrittweise aus und vereinfachen Sie das Ergebnis soweit wie möglich.

Determinante einer 2x2 Matrix mit Parameter

Berechnen Sie die Determinante einer 2x2 Matrix mit mindestens einem Parameter und vereinfachen Sie das Ergebnis.

rule Herleitung

Bestimmen Sie schrittweise \( \det(A) \) für die Matrix \[ A = \left( \begin{array}{rrr}-3 & -7&1\\7 & 4&-5\\-1 & 5&2\end{array} \right) \]

Determinante einer 3x3 Matrix

Berechnen Sie die Determinante einer Matrix dritten Grades.

rule Herleitung

Werten Sie die Determinante \[ \left| \begin{array}{ccc}4& 2& 2\\-3& -7-3\,b& 2 + 2\,b\\5& -4& 7\end{array} \right|\]schrittweise aus und vereinfachen Sie das Ergebnis soweit wie möglich.

Determinante einer 3x3 Matrix mit Parameter

Bestimmen Sie die Determinante einer 3x3 Matrix mit einem Parameter in den Einträgen.

rule Herleitung

Bestimmen Sie für \[ A = -7,-2,2,5\quad \mbox{ und } \quad B = -1,-3,2,4 \]schrittweise \( \det(A \cdot B) \)

Anwendung des Multiplikationssatzes (1)

Berechnen Sie die Determinante des Produkts zweier Matrizen mit Hilfe des Multiplikationssatzes.

rule Herleitung

Bestimmen Sie für \[ A = 5,3,-2,-3\quad \mbox{ und } \quad B = 4,2,2,-2 \]schrittweise \(\det {\left(3\,A\,B\right)}\)

Anwendung des Multiplikationssatzes (2)

Berechnen Sie die Determinante eines Produkts aus einer skalaren Vielfachen und zwei Matrizen.

rule Herleitung

Bestimmen Sie für \[ A = -5,-3,1,3\quad \mbox{ und } \quad B = 7,6,4,2 \]schrittweise \(\det {\left(A^{T}\,B^{-1}\right)}\)

Anwendung des Multiplikationssatzes (3)

Berechnen Sie die Determinante des Produkts aus der transponierten und der inversen Matrix.

rule Herleitung

Bestimmen Sie schrittweise \( \det(A) \) für die Matrix \[ A = \left( \begin{array}{rrr}2 & 2&5\\-7 & -7&1\\-6 & -6&-5\end{array} \right) \]

Determinante einer 3x3 Matrix

Berechnen Sie die Determinante einer quadratischen Matrix dritten Grades.

rule Herleitung

Geben Sie den Wert der Determinaten der Matrix \( \left( \begin{array}{cc}-3 & -3 -4 g \\ -2 +4 g & 1 \end{array} \right) \) in Anbängigkeit von \( g\) an.

Determinante einer Matrix (2)

Bestimmen Sie die Determinante einer 2×2-Matrix mit von einer Variablen abhängigen Einträgen.

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Bestimmen Sie \( h \in \mathbb{R} \) schrittweise so, dass \[\left| \begin{array}{cc}h-4& 3\\1& -6\end{array} \right| = 0\]gilt

Determinante einer Matrix

Bestimmen Sie einen Parameter so, dass die Determinante einer Matrix gleich null ist.

rule Herleitung

Geben Sie mit Hilfe der Cramerschen Regel einen Term für die 2-te Koordinate des Lösungsvektors der linearen Gleichung \[ \left (\begin{array}{rrr}-2&-2&6\\-5&5&-5\\7&-4&2\end{array} \right)\cdot \vec{x} = \left (\begin{array}{r}-5\\-3\\3\end{array} \right)\] an.

Cramersche Regel (1)

Bestimmen Sie mit der Cramerschen Regel einen Term für eine Koordinate des Lösungsvektors eines linearen Gleichungssystems.

list Schritte

Bestimmen Sie schrittweise das charakteristische Polynom \( p(x) \) zu der Matrix \[ A = \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \]und vereinfachen Sie das Ergebnis soweit wie möglich.

Sie können dabei den folgenden Lösungsweg verwenden: \begin{eqnarray*}p(x) & = & \det(A - x I) \\[0.5em] & = & \left| \begin{array}{cc} 1-x & 2 \\ 3 & 4-x \end{array} \right| \\[0.5em] & = & (1-x)(4-x) - 6 \\[0.5em] & = & x^2 -5x -2 \end{eqnarray*}

Charakteristisches Polynom mit Vorlage

Das charakteristische Polynom einer Matrix soll bestimmt und vereinfacht werden.

rule Herleitung

Bestimmen Sie schrittweise das charakteristische Polynom \( p(x) \) zu der Matrix \( \displaystyle A = \left( \begin{array}{rr} -5 & 3\\3 & -3 \end{array} \right) \) und vereinfachen Sie das Ergebnis soweit wie möglich.

Charakteristisches Polynom einer 2x2 Matrix

Bestimmen Sie das charakteristische Polynom einer gegebenen 2x2 Matrix.

rule Herleitung

Bestimmen Sie schrittweise das charakteristische Polynom \( p(x) \) zu der Matrix \[ \displaystyle A = \left (\begin{array}{rrr}4&-5&3\\-7&-1&-2\\-1&-5&2\end{array} \right)\] und vereinfachen Sie das Ergebnis in die Form \( a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \)

Charakteristisches Polynom einer 3x3 Matrix

Bestimmen Sie das charakteristische Polynom einer quadratischen Matrix dritten Grades.

rule Herleitung