Schnittwinkel

Bestimmen Sie den Winkel \( \alpha \) zwischen den beiden Ebenen \[ E_1: -2 x_1+4 x_2+4 x_3 = 2\] und \[ E: -2 x_1-2 x_2+ x_3 = -10. \]

Geben Sie den Winkel dabei entweder im Bogenmaß (Zahl ohne Einheit) oder im Gradmaß (Zahl mit Einheit ^o) auf drei Stellen Genauigkeit an.

Bestimmen Sie den Winkel \( \alpha \) zwischen den Geraden \[ g: \left ( \begin{array}{c}-4\\-2\\-1\end{array} \right) + s \left ( \begin{array}{c}1\\4\\4\end{array} \right), \quad s \in \mathbb{R} \] und \[ h: \left ( \begin{array}{c}-4\\-2\\-1\end{array} \right) + t \left ( \begin{array}{c}2\\-3\\1\end{array} \right), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Geben Sie den Winkel dabei entweder im Bogenmaß (Zahl ohne Einheit) oder im Gradmaß (Zahl mit Einheit ^o) auf drei Stellen Genauigkeit an.

Bestimmen Sie den Winkel \( \alpha \) zwischen der Geraden \[ g: \left ( \begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array} \right) + s \left ( \begin{array}{c}3\\0\\-4\end{array} \right), \quad s \in \mathbb{R} \] und der Ebene \[ E: -4 x_1-3 x_2+3 x_3 = -2. \]

Geben Sie den Winkel dabei entweder im Bogenmaß (Zahl ohne Einheit) oder im Gradmaß (Zahl mit Einheit ^o) auf drei Stellen Genauigkeit an.

Bestimmen Sie den Winkel \( \alpha \) zwischen den beiden Ebenen \[ E_1: 4 x_1- x_3 = 12\] und \[ E: -3 x_1-3 x_2+3 x_3 = 0. \]

Geben Sie den Winkel dabei entweder im Bogenmaß (Zahl ohne Einheit) oder im Gradmaß (Zahl mit Einheit ^o) auf drei Stellen Genauigkeit an.

Bestimmen Sie den Winkel \( \alpha \) zwischen den Geraden \[ g: \left ( \begin{array}{c}-1\\0\\-1\end{array} \right) + s \left ( \begin{array}{c}3\\-4\\0\end{array} \right), \quad s \in \mathbb{R} \] und \[ h: \left ( \begin{array}{c}-1\\0\\-1\end{array} \right) + t \left ( \begin{array}{c}0\\-3\\4\end{array} \right), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Geben Sie den Winkel dabei entweder im Bogenmaß (Zahl ohne Einheit) oder im Gradmaß (Zahl mit Einheit ^o) auf drei Stellen Genauigkeit an.

Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Geraden \[ g: \left ( \begin{array}{c}-2\\-1\\-2\end{array} \right) + s \left ( \begin{array}{c}-3\\1\\4\end{array} \right), \quad s \in \mathbb{R} \] und \[ h: \left ( \begin{array}{c}-2\\-1\\-2\end{array} \right) + t \left ( \begin{array}{c}3\\-1\\0\end{array} \right), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Geraden \[ g: \vec{x} = \left ( \begin{array}{c}-4\\-1\\-1\end{array} \right) + s \left ( \begin{array}{c}3\\4\\1\end{array} \right), \quad s \in \mathbb{R} \] und der Ebene \[ E: -2 x_1+2 x_2+3 x_3 = 3. \]

Geben Sie das Ergebnis, falls nötig, auf \( 1^\circ\) genau an.

Bestimmen Sie den Winkel \( \alpha \) zwischen den beiden Ebenen \[ E_1: x_1+3 x_2+ x_3 = 17\] und \[ E: 3 x_1-3 x_2+4 x_3 = 7. \]

Geben Sie, falls nötig, das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.

Bestimmen Sie den Schnittwinkel \( \alpha \) der beiden Ebenen \[ E_1: \vec{x} = \left ( \begin{array}{c}1\\-2\\-4\end{array} \right) + s \left ( \begin{array}{c}-1\\-2\\2\end{array} \right) + t \left ( \begin{array}{c}-1\\-1\\1\end{array} \right)\, s,t \in \mathbb{R} \]und \[ E_2: \vec{x} = \left ( \begin{array}{c}1\\0\\2\end{array} \right) + s \left ( \begin{array}{c}-3\\2\\-1\end{array} \right) + t \left ( \begin{array}{c}1\\-2\\3\end{array} \right)\, s,t \in \mathbb{R} \]

Geben Sie, falls nötig, das Ergebnis auf \( 1^\circ \) genau an.

Bestimmen Sie einen Vektor \( \vec{a} \in \mathbb{R}^3 \), der mit dem Vektor \( \vec{u} = \left ( \begin{array}{c}6\\8\\-3\end{array} \right)\) den Winkel \( \alpha = 18^\circ\) einschließt.

Bestimmen Sie einen Vektor \( \vec{a} \in \mathbb{R}^3 \), der mit dem Vektor \( \vec{u} = \left ( \begin{array}{c}1\\-6\\-5\end{array} \right)\) den Winkel \( \alpha = 38^\circ\) einschließt.

Geben Sie den Winkel zwischen den Vektoren \( \vec{a} = \left ( \begin{array}{c}-4\\0\\-2\end{array} \right)\) und \( \vec{b} = \left ( \begin{array}{c}1\\3\\4\end{array} \right)\) an.

Geben Sie alle Werte für den Parameter \( u \) an, damit die beiden Vektoren \( \vec{a} = \left( \begin{array}{c}-4 \\ u\\-2 \\\end{array} \right) \) und \( \vec{b} = \left ( \begin{array}{c}-1\\-3\\2\end{array} \right)\) den Winkel \( \alpha = 55^\circ \) einschließen.

Geben Sie die Ergebnisse auf drei Nachkommastellen genau an!

Der Parameter \( u \) soll so bestimmt werden, dass die beiden Vektoren \( \left( \begin{array}{c} u\\-3 \\0\\\end{array} \right) \) und \( \left ( \begin{array}{c}1\\4\\1\end{array} \right)\) den Winkel \( 25^\circ \) einschließen.

Geben Sie eine Gleichung zur Bestimmung von \( u \) an.

Bestimmen Sie einen Vektor \( \vec{a} \neq \vec{0} \), der senkrecht zu dem Vektor \( \vec{u} = \left ( \begin{array}{c}4\\6\\-1\end{array} \right)\) ist.