Gegeben ist die Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x; y) = xy+2 x+ y+1 \]Bestimmen Sie einen Richtungsvektor \( \vec{a} \in \mathbb{R}^2\) mit \(| \vec{a} | = 1\), so dass \( f \) an der Stelle (-1; 0) in Richtung \( \vec{a} \) maximal abfällt.

Gegeben ist die Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x; y) = 3 x^2+2 xy-3 x+3 \]Bestimmen Sie einen Richtungsvektor \( \vec{a} \in \mathbb{R}^2\) mit \(| \vec{a} | = 1\), so dass \( f \) an der Stelle (1; -2) in Richtung \( \vec{a} \) konstant ist.

Von einer Funktion \( f \) ist Folgendes bekannt:\[ f(4; 3) = 1; \quad f_x(4; 3) = 5; \quad f_y(4; 3) = 6.\]Bestimmen Sie damit die Steigung der Funktion \( f \) an der Stelle (4; 3) in Richtung \( \displaystyle \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -1\\8 \end{array} \right) \).

Gegeben ist die Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x; y) = - x^2- xy+3 x-2 y\]Bestimmen Sie einen Richtungsvektor \( \vec{a} \in \mathbb{R}^2\) mit \(| \vec{a} | = 1\), so dass \( f \) an der Stelle (-2; 2) in Richtung \( \vec{a} \) maximal ansteigt .

Gegeben ist die Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x,y) = x^2-2 xy+2 y^2-3 y\]Bestimmen Sie einen Richtungsvektor \( \vec{a} \in \mathbb{R}^2\) mit \(| \vec{a} | = 1\), so dass \( f \) an der Stelle (-2; 0) in Richtung \( \vec{a} \) konstant ist.

Geben Sie die Ableitung der Funktion \( f \) gegeben durch \[ f(x; y) = -2 x\,\ln{\left(y\right)}-2 e^{x}\,y \]in Richtung \( \vec{v} = \left ( \begin{array}{c}-3\\-3\end{array} \right)\) an der Stelle \( (-4; 5) \) an. Runden Sie, falls nötig, auf 3 Nachkommastellen.