In dieser Aufgabe soll der Wertebereich einer Funktion bestimmt werden, die durch einen quadratischen Ausdruck gegeben ist. Dazu wird die Funktion zunächst nach ihrer Funktionsvorschrift analysiert und anschließend der Wertebereich, also die Menge aller möglichen Funktionswerte, ermittelt. Es kann hilfreich sein, die Umkehrung der Funktionsgleichung zu betrachten und die Bedingungen für die Existenz reeller Lösungen zu untersuchen.
Beispiel
Bestimmen Sie schrittweise den Wertebereich \( W \) der Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x) = 3 x^2+2 \]Sie können hierzu den folgenden Lösungsweg verwenden: \[ \begin{array}{crcl} & y & = & f(x) \\\Leftrightarrow & y & = & 3 x^2+2 \\\Leftrightarrow & y-2 & = & 3 x^2\\\Leftrightarrow & \frac{1}{3} ( y-2 )& = & x^2 \\\Leftrightarrow & \frac{1}{3} ( y-2 ) & \ge & 0 \\ \Leftrightarrow & y-2 & \ge & 0 \\ \Leftrightarrow & y & \ge & 2\end{array} \]\[ \Rightarrow W = [2, \infty) \]
Formate
Stichworte
wertebereich, quadratische funktion, funktionsanalyse, parabel, reelle zahlen, funktionswert, umformung