Beschreiben Sie die Menge \[ A = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \left(5 \le x^2 + y^2 \le 17\right) \wedge \left( \left(y \le 4 x\right) \vee \left( y \ge -\frac{1}{2} x\right) \right)\right\} \]mit Hilfe von Polarkoordinaten.

Beachten Sie, dass \( \varphi_0 \in \big(-\pi, \pi \big] \) gelten muss.

Geben Sie für die Menge \[ A = \Big\{ \big( r \cos(\varphi), r \sin(\varphi), z\big) \in \mathbb{R}^3 : 4\le r \le 5, \;-\frac{\pi}{4}\le \varphi \le \frac{5}{4}\pi, \;3\le z \le 7\Big\} \] den Wert des Volumenintegrals \[ I = \int_A \big(2 y- z\big) \, d(x,y,z) \] an

Geben Sie für die Menge \[ A = \Big\{ \big( r \cos(\varphi), r \sin(\varphi), z\big) \in \mathbb{R}^3 : 4\le r \le 5, \;-\frac{\pi}{4}\le \varphi \le \frac{5}{4}\pi, \;3\le z \le 7\Big\} \] den Wert des Volumenintegrals \[ I = \int_A \big(2 y- z\big) \, d(x,y,z) \] an

Gesucht ist die Kugelkoordinatendarstellung \[\big( r \cos(\varphi) \sin(\vartheta), r \sin(\varphi) \sin(\vartheta), r \cos(\vartheta) \big) \] des Körpers \[ K = \big\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : 3\le x^2 + y^2 + z^2\le4, x \ge 0 , y \ge 0 \big\}. \] Geben Sie geeignete Intervalle für \( \varphi, \vartheta \) und \( r \) an.