Grenzwerte

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Bestimmen Sie schrittweise den Grenzwert\[ \lim_{n \to \infty } \frac{2\,n^{4}}{2-3\,n^{3} + 4\,n^{4}}\]folgen Sie dabei dem folgendem Lösungsweg: \begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac{2 n^4}{2 -3 n^3+4 n^4} & = & \lim_{n \to \infty} \frac{n^4\cdot 2}{n^4\cdot \left( 2 n^{-4}-3 n^{-1}+4 \right)} \\ & = & \lim_{n \to \infty} \frac{2}{2 n^{-4}-3 n^{-1}+4 } \\ & = & \frac{1}{2}\end{eqnarray*}

Grenzwert mit Brüchen und Lösung

Bestimmen Sie den Grenzwert eines gebrochen-rationalen Ausdrucks für eine Variable gegen unendlich.

Bestimmen Sie schrittweise den Grenzwert\[ \lim_{n \to \infty } \frac{7\,n^{6}}{4 + n^{5} + 3\,n^{6}}\]

Grenzwert mit Brüchen

Bestimmen Sie den Grenzwert eines Bruchs mit Polynomen im Zähler und Nenner für eine Variable gegen unendlich.

Bestimmen Sie schrittweise den Grenzwert\[ \lim_{x \to \infty}\frac{ 2x^4 }{ 2-3x^3+4x^4} \]folgen Sie dabei dem folgendem Lösungsweg: \begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{ 2x^4}{2-3x^3+4x^4} & = & \lim_{x \to \infty} \frac{2 x^4}{4x ^4} \\ & = & \lim_{x \to \infty} \frac{2}{4} \\ & = & \frac{1}{2}\end{eqnarray*}

Grenzwert mit Brüchen und Lösung

Berechnen Sie den Grenzwert eines rationalen Ausdrucks für eine Variable gegen unendlich.

Bestimmen Sie schrittweise den Grenzwert\[ \lim_{n \to \infty } \left(\frac{3\,n^{7}}{2 + 2\,n^{6} + 2\,n^{7}} + \frac{6\,n^{3}}{1-2\,n^{2}-n^{3}}\right) \]folgen Sie dabei dem folgendem Lösungsweg: \begin{eqnarray*} & & \lim_{n\to \infty} \left( \frac{3 n^7}{2 +2 n^6+2 n^7} + \frac{6 n^3}{1 -2 n^2- n^3}\right)\\[1em] & & \qquad = \lim_{n\to \infty} \frac{3 n^7}{2 +2 n^6+2 n^7} + \lim_{n\to \infty} \frac{6 n^3}{1 -2 n^2- n^3} \\[1em] & & \qquad = \lim_{n \to \infty} \frac{3 n^7}{2 n^{7} } + \lim_{n \to \infty} \frac{6 n^3}{- n^{3}} \\[1em] & & \qquad = \frac{3}{2} -6 \\[1em] & & \qquad = -\frac{9}{2}\end{eqnarray*}

Grenzwert von Summen mit Vorlage

Bestimmen Sie den Grenzwert einer Summe von rationalen Folgen für n gegen unendlich.

Bestimmen Sie schrittweise den Grenzwert\[ \lim_{n \to \infty } \left(\frac{6\,n^{7}}{3 + 5\,n^{6}-8\,n^{7}} + \frac{4\,n^{6}}{4 + 2\,n^{5} + 3\,n^{6}}\right) \]

Grenzwert von Summen

Bestimmen Sie den Grenzwert eines Ausdrucks mit Summen von rationalen Funktionen für n gegen unendlich.

Bestimmen Sie schrittweise den Grenzwert\[ \lim_{n \to \infty } \left(\frac{4\,n^{2}}{4\,n + 4}-\frac{4\,n^{2}}{4\,n-1}\right) \]

Grenzwert von Differenzen

Bestimmen Sie den Grenzwert eines Ausdrucks mit Differenzen von gebrochenrationalen Folgen.

Bestimmen Sie schrittweise den Grenzwert\[ \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{n^{2}-4\,n-4}-2\,n-4}{6\,n-2}\]

Grenzwerte mit Wurzeln

Es soll der Grenzwert eines Bruchs mit einer Wurzel im Zähler für eine Variable gegen unendlich bestimmt werden.

Bestimmen Sie den Grenzwert \[ \lim_{x \to 3^-} \dfrac{2x^{6}-11x^{5}+13x^{4}+4x^{3}+5x^{2}+7x-12}{x-3} \]

Grenzwerte (2)

Bestimmen Sie den Grenzwert eines gebrochenrationalen Ausdrucks an einer kritischen Stelle.

Untersuchen Sie \( (a_n )_{n\ge 1}\) auf Konvergenz und bestimmen Sie ggfs. den Grenzwert:

(a) \( \displaystyle a_n = -\frac{1}{n} + \frac{6}{n^{3}}-5\)

(b) \( \displaystyle a_n = -\frac{40}{10 + \frac{10}{n}}\)

(c) \( \displaystyle a_n = \sqrt{49 + \frac{1}{n}}\)

(d) \( \displaystyle a_n = -3 + 3\,n + 7\,n^{2} + 4\,n^{3}\)

(e) \( \displaystyle a_n = 3\,n^{2} + \frac{5}{n}\)

(f) \( \displaystyle a_n = \frac{-1 + 7\,\left( -1\right)^{n}}{n}\)

(g) \( \displaystyle a_n = \frac{-4 + n + 3\,n^{2}}{5-3\,n-5\,n^{2}}\)

(h) \( \displaystyle a_n = \frac{1}{3 + 2\,n}\,\left(-1 + 5\,n + 2\,n^{2}\right)\)

(i) \( \displaystyle a_n = \frac{9^{n-3} + 3}{9^{n + 3}}\)

(j) \( \displaystyle a_n = \sqrt[n]{3\,n}\)

(k) \( \displaystyle a_n = \sqrt[n]{n!^{2}}\)

(l) \( \displaystyle a_n = \sqrt[n]{\frac{14}{n}}\)

Grenzwerte Bestimmen

Untersuchen Sie Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Grenzwert.