Abstandsprobleme

Schreiben Sie die parametrisierte Menge von Ortsvektoren: \[ \left\{ \left (\begin{array}{r}9\\6\\5\end{array} \right) + t \left (\begin{array}{r}-8\\5\\-3\end{array} \right): t \in \mathbb{R} \right\} \]

Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten \( P = \left(4;2;0\right)\) und \(Q = \left(4;1;4\right)\).

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes \( P = \left(4;1;1\right)\) von der Geraden \[ g: \vec{x} = \left ( \begin{array}{c}3\\-1\\-4\end{array} \right) + \lambda \left ( \begin{array}{c}1\\-4\\-2\end{array} \right), \quad \lambda \in \mathbb{R}. \]

Bestimmen Sie den Abstand zwischen dem Punkt \( P = \left(-2;0;-4\right)\) und der Ebene \[E : 5 x_1- x_3 = 5 .\]

Bestimmen Sie den Abstand zwischen dem Punkt \( P = \left(-5;-5;4\right)\) und der Ebenen \[E : \vec{x} = \left ( \begin{array}{c}3\\3\\4\end{array} \right) + s \left ( \begin{array}{c}4\\3\\0\end{array} \right) + t \left ( \begin{array}{c}4\\-3\\2\end{array} \right), \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Geraden \[ g: \vec{x} = \left ( \begin{array}{c}0\\5\\3\end{array} \right) + s \left ( \begin{array}{c}-1\\-2\\2\end{array} \right), \quad s \in \mathbb{R} \] und \[ h: \vec{x} = \left ( \begin{array}{c}-3\\1\\-1\end{array} \right) + t \left ( \begin{array}{c}1\\1\\-4\end{array} \right), \quad t \in \mathbb{R}. \]

Gesucht sind alle Punkte auf der Geraden \[ g: \vec{x} = \left ( \begin{array}{c}5\\-1\\0\end{array} \right) + s \left ( \begin{array}{c}5\\-2\\-1\end{array} \right), \quad s \in \mathbb{R}, \] die von der Ebene \[ E: -3 x_1-3 x_2+5 x_3 = -3\] den Abstand 4 haben.

Geben Sie das Ergebnis als Menge von Punkten an.

Bestimmen Sie den Abstand der Geraden \[ g: \vec{x} = \left ( \begin{array}{c}-2\\2\\0\end{array} \right) + \lambda \left ( \begin{array}{c}-2\\-4\\-1\end{array} \right), \quad \lambda \in \mathbb{R} \] vom Ursprung \( O \).

Ergebnis: