Vektoren

Gegeben ist der Vektor \[ \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1+a \\ 2 \end{array} \right) \]

Bestimmen Sie schrittweise die Länge \( | \vec{a} | \) und fassen Sie das Ergebnis soweit wie möglich zusammen.

Sie können hierzu den folgenden Lösungsweg verwenden\begin{eqnarray*}| \vec{a}| & = & \left| \left( \begin{array}{c} 1+a \\ 2 \end{array} \right)\right| \\[1em] & = & \sqrt{ (1+a)^2 + 2^2} \\[1em] & = & \sqrt{ 1+2a + a^2 + 4} \\[1em] & = & \sqrt{ a^2 + 2a + 5}\end{eqnarray*}

Gegeben ist der Vektor \[ \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 -4 a\\-3 +4 a\\\end{array} \right) \]

Bestimmen Sie schrittweise die Länge \( | \vec{a} | \) und fassen Sie das Ergebnis soweit wie möglich zusammen.

Gegeben ist der Vektor \[ \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -3 +2 a\\-4 +2 a\\2 +4 a\\\end{array} \right) \]

Bestimmen Sie schrittweise die Länge \( | \vec{a} | \) und fassen Sie das Ergebnis soweit wie möglich zusammen.

Gegeben sie die Vektoren \[ \vec{a} = \left( \begin{array}{r} 2\\-1\\3\\\end{array} \right)\quad \mbox{ und } \quad \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 3 +2 a\\1 + a\\-3 - a\\\end{array} \right) \]

Bestimmen Sie schrittweise die Länge \( | \vec{a}+2 \vec{b} | \) und fassen Sie das Ergebnis soweit wie möglich zusammen.

Gegeben sind die Vektoren \(\displaystyle \vec{a} = \left( \begin{array}{c} a+4 \\ 2 a+3 \\ \end{array} \right)\mbox{ und } \vec{b} = \left ( \begin{array}{c}1\\2\end{array} \right).\)

Bestimmen Sie schrittweise den Parameter \(a \in \mathbb{R}\) so, dass \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 45\) gilt.

Nutzen Sie hierzu den folgenden Lösungsweg \[ \begin{array}{crcl}& \vec{a} \cdot \vec{b} & = & 45\\\Leftrightarrow & \left( \begin{array}{c} a+4 \\ 2 a+3 \\ \end{array} \right)\cdot\left ( \begin{array}{c}1\\2\end{array} \right) & = & 45\\\Leftrightarrow & ( a+4 )+2 (2 a+3 )& = & 45\\\Leftrightarrow & 5 a+10 & = & 45\\\Leftrightarrow & 5 a& = & 35\\\Leftrightarrow & a & = & 7\end{array} \]

Gegeben sind die Vektoren \(\displaystyle \vec{a} = \left( \begin{array}{c}-4 a+2 \\ -4 a+5 \\ 4 a-5 \\ \end{array} \right)\mbox{ und } \vec{b} = \left ( \begin{array}{c}5\\-2\\2\end{array} \right).\)

Bestimmen Sie schrittweise das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{b} \) und fassen Sie das Ergebnis soweit wie möglich zusammen.

Für die beiden Vektoren \( \vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3 \) besteht der Zusammenhang:\[ \frac{4\,\vec{a} + 2\,\vec{b}}{5} + 5\,\vec{a} = 0\]Lösen Sie diese Gleichung nach \(\vec{a}\) auf.Nutzen Sie dafür den folgenden Lösungsweg \[ \begin{array}{crcl}& \dfrac{ 4 \vec{a}+2 \vec{b}}{ 5}+5 \vec{a} & = & 0 \\\Leftrightarrow & 4 \vec{a}+2 \vec{b}+25 \vec{a} & = & 0 \\\Leftrightarrow & 29 \vec{a} & = & -2 \vec{b}\\\Leftrightarrow & \vec{a} & = & -\frac{2}{29} \vec{b}\\\end{array} \]

Für die beiden Vektoren \( \vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3 \) besteht der Zusammenhang:\[ \frac{3\,\vec{a} + 5\,\vec{b}}{4} + 2\,\vec{a} = 0\]Lösen Sie diese Gleichung nach \(\vec{a}\) auf.