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Grenzwerte Bestimmen
Die Aufgabe besteht darin, rekursiv oder explizit definierte Folgen zu analysieren und zu entscheiden, ob sie konvergieren oder divergieren. Falls die Folge konvergiert, soll der Grenzwert ermittelt werden. Es können dabei verschiedene Typen von Folgen vorkommen, etwa gebrochen-rationale Ausdrücke, Radikale oder Potenzen. Ziel ist das Verständnis des Grenzwertbegriffs sowie die Anwendung grundlegender Grenzwertsätze.
Beispiel
Untersuchen Sie \( (a_n )_{n\ge 1}\) auf Konvergenz und bestimmen Sie ggfs. den Grenzwert:

(a) \( \displaystyle a_n = -\frac{1}{n} + \frac{6}{n^{3}}-5\)
mit \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \)

(b) \( \displaystyle a_n = -\frac{40}{10 + \frac{10}{n}}\)
mit \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \)

(c) \( \displaystyle a_n = \sqrt{49 + \frac{1}{n}}\)
mit \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \)

(d) \( \displaystyle a_n = -3 + 3\,n + 7\,n^{2} + 4\,n^{3}\)
mit \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \)

(e) \( \displaystyle a_n = 3\,n^{2} + \frac{5}{n}\)
mit \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \)

(f) \( \displaystyle a_n = \frac{-1 + 7\,\left( -1\right)^{n}}{n}\)
mit \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \)

(g) \( \displaystyle a_n = \frac{-4 + n + 3\,n^{2}}{5-3\,n-5\,n^{2}}\)
mit \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \)

(h) \( \displaystyle a_n = \frac{1}{3 + 2\,n}\,\left(-1 + 5\,n + 2\,n^{2}\right)\)
mit \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \)

(i) \( \displaystyle a_n = \frac{9^{n-3} + 3}{9^{n + 3}}\)
mit \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \)

(j) \( \displaystyle a_n = \sqrt[n]{3\,n}\)
mit \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \)

(k) \( \displaystyle a_n = \sqrt[n]{n!^{2}}\)
mit \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \)

(l) \( \displaystyle a_n = \sqrt[n]{\frac{14}{n}}\)
mit \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \)

Formate

Stichworte

folge, grenzwert, konvergenz, divergenz, analysis, asymptotik, nullfolgen