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We are looking for a quadratic polynomial \( p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \) which satisfies the following conditions: \begin{eqnarray*}p(-1) & = & -3\\p(0) & = & 1\\p'(-1) & = & 0\end{eqnarray*}Build a linear system of equations for the unknown coefficients \(a_0,a_1,a_2 \).
\( \, \cdot \, \displaystyle \left( \begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \)\( \; = \; \)
Quadratic Splines (1)
Es soll ein quadratisches Polynom anhand gegebener Werte und Ableitungsbedingungen bestimmt werden.
We are looking for a quadratic spline \[ s(x) = \left\{ \begin{array}{ll}a_0 + a_1 x + a_2 x^2 &, 3\le x < 4\\b_0 + b_1 x + b_2 x^2 &, 4\le x \le 5\end{array} \right. \]which is continously differentiable and satisfies the following conditions: \[s(3) = 2,\; s(4) = -2,\; s(5) =3\mbox{ and } s&#39;(3) = 0. \]Build a linear system of equations for the unknown coefficients \(a_0,a_1,a_2 \).
\( \, \cdot \, \displaystyle \left( \begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ b_0 \\ b_1 \\ b_2\end{array} \right) \)\( \; = \; \)
Quadratic Splines (2)
Es soll ein quadratischer Spline bestimmt werden, der gegebene Stütz- und Randbedingungen erfüllt.
Bestimmen Sie Koeffizienten \(a,b,c \in \mathbb{R} \) mit \[ a \left ( \begin{array}{c}2\\20\\6\end{array} \right)+ b \left ( \begin{array}{c}8\\88\\8\end{array} \right)+ c \left ( \begin{array}{c}4\\39\\24\end{array} \right) = \left ( \begin{array}{c}72\\775\\116\end{array} \right)\]

Geben Sie das Ergebnis in der Form \[ a = \ldots, \quad b = \ldots, \quad c = \ldots \]an.

Koeffizienten bestimmen
Bestimmen Sie die Koeffizienten einer Linearkombination von Vektoren, sodass eine vorgegebene Gleichung erfüllt ist.
Given a matrix and its LU decomposition \[ A = \left (\begin{array}{rrrrr}1&-5&4&4&2\\1&-9&1&6&1\\4&-28&11&23&9\\-3&7&-22&-18&-16\\3&-27&0&17&11\end{array} \right)= \left (\begin{array}{rrrrr}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\4&2&1&0&0\\-3&2&-4&1&0\\3&3&-3&4&1\end{array} \right)\cdot \left (\begin{array}{rrrrr}1&-5&4&4&2\\0&-4&-3&2&-1\\0&0&1&3&3\\0&0&0&2&4\\0&0&0&0&1\end{array} \right)\]

and a vector \( \vec{b} = \left ( \begin{array}{c}2\\1\\-2\\-1\\4\end{array} \right)\).

Calculate the solution of \( A \vec{x} = \vec{b}. \)

\(\left (\begin{array}{rrrrr}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\4&2&1&0&0\\-3&2&-4&1&0\\3&3&-3&4&1\end{array} \right)\) \( \cdot \)
 \(\; =\; \)
 
\(\left (\begin{array}{rrrrr}1&-5&4&4&2\\0&-4&-3&2&-1\\0&0&1&3&3\\0&0&0&2&4\\0&0&0&0&1\end{array} \right)\) \( \cdot \)
 \(\; =\; \)
 

Result

Solution of a linear system using LU decomposition
Lösen eines linearen Gleichungssystems mit gegebener LU-Zerlegung einer Matrix.
Given a matrix \( A \) and its LU decomposition \[ A = \left (\begin{array}{rrrr}2&3&-5&4\\-4&-8&14&-5\\-4&2&-3&-23\\-6&-17&34&-1\end{array} \right)= \left (\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\-2&1&0&0\\-2&-4&1&0\\-3&4&1&1\end{array} \right)\cdot \left (\begin{array}{rrrr}2&3&-5&4\\0&-2&4&3\\0&0&3&-3\\0&0&0&2\end{array} \right)\]

Calculate the inverse of \( A \)

\(\left (\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\-2&1&0&0\\-2&-4&1&0\\-3&4&1&1\end{array} \right)\) \( \cdot \)
 \(\; =\; \)
 
\(\left (\begin{array}{rrrr}2&3&-5&4\\0&-2&4&3\\0&0&3&-3\\0&0&0&2\end{array} \right)\) \( \cdot \)
 \(\; =\; \)
 

Result

\( X = \) \(\left (\begin{array}{rrrr}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array} \right)\)   

Compute Inverse of a matrix using LU decomposition
Bestimmen Sie die Inverse einer Matrix mit Hilfe ihrer LU-Zerlegung.
Flächeninhalt bestimmen (2)
Bestimmen Sie den Flächeninhalt eines Dreiecks, das durch drei Punkte in der Ebene gegeben ist.