MathWeb-Numerische Integration

Berechnen Sie näherungsweise mit der Näherungsformel der Newton-Cotes-Integration für n=3 und n=4 Stützstellen das Integral\[ A = \int_{2}^{7}\sqrt{3 +2 x^4}\, dx\]Die Newton-Cotes Formel lauten \[ n = 3: \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{6} \big(f(x_1) + 4 f(x_2) + f(x_3)\big)\]\[ n = 4: \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{8} \big(f(x_1) + 3 f(x_2) + 3 f(x_3) + f(x_4)\big)\]mit \(x_i = a+ (i-1)h\) und \( h = \dfrac{b-a}{n-1} \)

Newton-Cotes Formel

Berechnen Sie näherungsweise mit der Näherungsformel der Newton-Cotes-Integration für n=3 Stützstellen das Integral\[ A = \int_{3}^{5}\sqrt{2 +4 x^3}\, dx\]Die Newton-Cotes Formel lautet \[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{6} \big(f(x_1) + 4 f(x_2) + f(x_3)\big)\]mit \(x_i = a+ (i-1)h\) und \( h = \dfrac{b-a}{n-1} \)

\(i\)	1	2	3
\(x_i\)
\(f(x_i)\)

Geben Sie die Ergebnisse bitte auf 5 Nachkommastellen genau an.

Newton-Cotes Formel

Berechnen Sie näherungsweise mit der Näherungsformel der Newton-Cotes-Integration für n=4 Stützstellen das Integral\[ A = \int_{2}^{4}\sqrt{3 +3 x^4}\, dx\]Die Newton-Cotes Formel lautet \[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{8} \big(f(x_1) + 3 f(x_2) + 3 f(x_3) + f(x_4)\big)\]mit \(x_i = a+ (i-1)h\) und \( h = \dfrac{b-a}{n-1} \)

\(i\)	1	2	3	4
\(x_i\)
\(f(x_i)\)

Geben Sie die Ergebnisse bitte auf 5 Nachkommastellen genau an.

Newton-Cotes Formel

Berechnen Sie näherungsweise mit der Näherungsformel der Newton-Cotes-Integration für n=3 und n=4 Stützstellen das Integral\[\int_{1.5}^{4}\frac{x^3}{4 e^x-1 }\, dx\]Die Newton-Cotes Formel lauten \[ n = 3: \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{6} \big(f(x_1) + 4 f(x_2) + f(x_3)\big)\]\[ n = 4: \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{8} \big(f(x_1) + 3 f(x_2) + 3 f(x_3) + f(x_4)\big)\]mit \(x_i = a+ (i-1)h\) und \( h = \dfrac{b-a}{n-1} \)

Newton-Cotes Formel (2)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Näherungsformel der Newton-Cotes-Integration für n=3 Stützstellen das Integral\[ A = \int_{3}^{8}\frac{x^2}{ e^x+4 }\, dx\]Die Newton-Cotes Formel lautet \[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{6} \big(f(x_1) + 4 f(x_2) + f(x_3)\big)\]mit \(x_i = a+ (i-1)h\) und \( h = \dfrac{b-a}{n-1} \)

\(i\)	1	2	3
\(x_i\)
\(f(x_i)\)

Geben Sie die Ergebnisse bitte auf 5 Nachkommastellen genau an.

Newton-Cotes Formel (2)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Näherungsformel der Newton-Cotes-Integration für n=4 Stützstellen das Integral\[ A = \int_{2}^{7}\frac{x^3}{3 e^x+2 }\, dx\]Die Newton-Cotes Formel lautet \[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{8} \big(f(x_1) + 3 f(x_2) + 3 f(x_3) + f(x_4)\big)\]mit \(x_i = a+ (i-1)h\) und \( h = \dfrac{b-a}{n-1} \)

\(i\)	1	2	3	4
\(x_i\)
\(f(x_i)\)

Geben Sie die Ergebnisse bitte auf 5 Nachkommastellen genau an.

Newton-Cotes Formel (2)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Näherungsformel der Newton-Cotes-Integration für n=4 Stützstellen das Integral\[ A = \int_{3}^{8}\frac{1}{\sqrt{3 +4 \sin(x)^2}}\, dx\]Die Newton-Cotes Formel lautet \[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{8} \big(f(x_1) + 3 f(x_2) + 3 f(x_3) + f(x_4)\big)\]mit \(x_i = a+ (i-1)h\) und \( h = \dfrac{b-a}{n-1} \)

\(i\)	1	2	3	4
\(x_i\)
\(f(x_i)\)

Geben Sie die Ergebnisse bitte auf 5 Nachkommastellen genau an.

Newton-Cotes Formel (3)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Näherungsformel der Newton-Cotes-Integration für n=3 Stützstellen das Integral\[ A = \int_{2}^{7}\frac{1}{\sqrt{1 + \sin(x)^2}}\, dx\]Die Newton-Cotes Formel lautet \[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{6} \big(f(x_1) + 4 f(x_2) + f(x_3)\big)\]mit \(x_i = a+ (i-1)h\) und \( h = \dfrac{b-a}{n-1} \)

\(i\)	1	2	3
\(x_i\)
\(f(x_i)\)

Geben Sie die Ergebnisse bitte auf 5 Nachkommastellen genau an.

Newton-Cotes Formel (3)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Näherungsformel der Newton-Cotes-Integration für n=3 und n=4 Stützstellen das Integral\[A = \int_{0.5}^{2}\frac{1}{\sqrt{3 -1.5 \sin(x)^2}}\, dx\]Die Newton-Cotes Formel lauten \[ n = 3: \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{6} \big(f(x_1) + 4 f(x_2) + f(x_3)\big)\]\[ n = 4: \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{8} \big(f(x_1) + 3 f(x_2) + 3 f(x_3) + f(x_4)\big)\]mit \(x_i = a+ (i-1)h\) und \( h = \dfrac{b-a}{n-1} \)

Newton-Cotes Formel (3)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Näherungsformel der Newton-Cotes-Integration für n=3 und n=4 Stützstellen das Integral\[ A = \int_{2}^{4}\sqrt{4 +2 x^2}\, dx\]Die Newton-Cotes Formel lauten \[ n = 3: \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{6} \big(f(x_1) + 4 f(x_2) + f(x_3)\big)\]\[ n = 4: \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{8} \big(f(x_1) + 3 f(x_2) + 3 f(x_3) + f(x_4)\big)\]mit \(x_i = a+ (i-1)h\) und \( h = \dfrac{b-a}{n-1} \)

\(n=3\):

\(i\)	1	2	3
\(x_i\)
\(f(x_i)\)

\(n=4\):

\(i\)	1	2	3	4
\(x_i\)
\(f(x_i)\)

Newton-Cotes Formel

Berechnen Sie näherungsweise mit der Gauß-Integration für n= 2 und n=3 Stützstellen das Integral\[A = \int_{1}^{5}\sqrt{2 + x^3}\, dx\]

Für \(\displaystyle n = 2: \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \big(f(x_1) + f(x_2)\big)\)
mit\[ x_1 = \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{1}{3} };\quad x_2 = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{1}{3} } \]Für \(\displaystyle n = 3: \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{18} \big(5\, f(x_1) + 8\, f(x_2) + 5\, f(x_3))\big)\)
mit \[ x_1 = \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{3}{5} };\quad x_2 = \frac{a+b}{2}; \quad x_3 = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{3}{5} } \]

Gauß-Integration (1a)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Gauß-Integration für n= 2 Stützstellen das Integral\[A = \int_{3}^{8}\sqrt{3 +4 x^2}\, dx\]

Für \(n=2\) lautet die Gauß-Formel: \[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \big(f(x_1) + f(x_2)\big)\]mit\[ x_1 = \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{1}{3} };\quad x_2 = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{1}{3} } \]

\(i\)	1	2
\(x_i\)
\(f(x_i)\)

Gauß-Integration (1b)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Gauß-Integration für n = 3 Stützstellen das Integral\[A = \int_{1}^{3}\sqrt{3 +3 x^3}\, dx\]Für \( n = 3\) lautet die Gauß-Formel: \[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{18} \big(5\, f(x_1) + 8\, f(x_2) + 5\, f(x_3))\big)\]mit \[ x_1 = \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{3}{5} };\quad x_2 = \frac{a+b}{2}; \quad x_3 = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{3}{5} } \]

\(i\)	1	2	3
\(x_i\)
\(f(x_i)\)

Gauß-Integration (1c)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Gauß-Integration für n = 3 Stützstellen das Integral\[A = \int_{2}^{4}\frac{x^4}{ e^x+3 }\, dx\]Für \( n = 3\) lautet die Gauß-Formel: \[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{18} \big(5\, f(x_1) + 8\, f(x_2) + 5\, f(x_3))\big)\]mit \[ x_1 = \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{3}{5} };\quad x_2 = \frac{a+b}{2}; \quad x_3 = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{3}{5} } \]

\(i\)	1	2	3
\(x_i\)
\(f(x_i)\)

Gauß-Integration (2c)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Gauß-Integration für n= 2 Stützstellen das Integral\[A = \int_{1}^{5}\frac{x^2}{ e^x+2 }\, dx\]

Für \(n=2\) lautet die Gauß-Formel: \[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \big(f(x_1) + f(x_2)\big)\]mit\[ x_1 = \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{1}{3} };\quad x_2 = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{1}{3} } \]

\(i\)	1	2
\(x_i\)
\(f(x_i)\)

Gauß-Integration (2b)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Gauß-Integration für n= 2 und n=3 Stützstellen das Integral\[A = \int_{1}^{5}\frac{x^4}{ e^x+4 }\, dx\]

Für \(\displaystyle n = 2: \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \big(f(x_1) + f(x_2)\big)\)
mit\[ x_1 = \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{1}{3} };\quad x_2 = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{1}{3} } \]Für \(\displaystyle n = 3: \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{18} \big(5\, f(x_1) + 8\, f(x_2) + 5\, f(x_3))\big)\)
mit \[ x_1 = \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{3}{5} };\quad x_2 = \frac{a+b}{2}; \quad x_3 = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{3}{5} } \]

Gauß-Integration (2a)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Gauß-Integration für n = 3 Stützstellen das Integral\[A = \int_{3}^{7}\frac{1}{\sqrt{1 +4 \sin(x)^2}}\, dx\]Für \( n = 3\) lautet die Gauß-Formel: \[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{18} \big(5\, f(x_1) + 8\, f(x_2) + 5\, f(x_3))\big)\]mit \[ x_1 = \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{3}{5} };\quad x_2 = \frac{a+b}{2}; \quad x_3 = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{3}{5} } \]

\(i\)	1	2	3
\(x_i\)
\(f(x_i)\)

Gauß-Integration (3c)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Gauß-Integration für n= 2 Stützstellen das Integral\[A = \int_{2}^{5}\frac{1}{\sqrt{1 +3 \sin(x)^2}}\, dx\]

Für \(n=2\) lautet die Gauß-Formel: \[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \big(f(x_1) + f(x_2)\big)\]mit\[ x_1 = \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{1}{3} };\quad x_2 = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{1}{3} } \]

\(i\)	1	2
\(x_i\)
\(f(x_i)\)

Gauß-Integration (3b)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Gauß-Integration für n= 2 und n=3 Stützstellen das Integral\[A = \int_{3}^{6}\frac{1}{\sqrt{3 - \sin(x)^2}}\, dx\]

Für \(\displaystyle n = 2: \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \big(f(x_1) + f(x_2)\big)\)
mit\[ x_1 = \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{1}{3} };\quad x_2 = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{1}{3} } \]Für \(\displaystyle n = 3: \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{18} \big(5\, f(x_1) + 8\, f(x_2) + 5\, f(x_3))\big)\)
mit \[ x_1 = \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{3}{5} };\quad x_2 = \frac{a+b}{2}; \quad x_3 = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2} \sqrt{ \frac{3}{5} } \]

Gauß-Integration (3a)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Trapez-Formel\[ \int_a^b f(x) \, dx \approx h \cdot \left( \frac{1}{2} ( y_0 + y_n) + \sum_{i=1}^{n-1} y_i \right) \]mit \( x_i = a + i h \), \( y_i = f(x_i) \) und \( h = \dfrac{b-a}{n} \).das Integral\[A = \int_{1}^{4}\frac{1}{\sqrt{4 +0.5 \sin(x)^2}}\, dx\]für \( n = 9\). Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.

Trapez-Formel (3)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Trapez-Formel\[ \int_a^b f(x) \, dx \approx h \cdot \left( \frac{1}{2} ( y_0 + y_n) + \sum_{i=1}^{n-1} y_i \right) \]mit \( x_i = a + i h \), \( y_i = f(x_i) \) und \( h = \dfrac{b-a}{n} \).das Integral\[A = \int_{1}^{4}\frac{x^2}{4 e^x+1 }\, dx\]für \( n = 12\). Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.

Trapez-Formel (2)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Trapez-Formel\[ \int_a^b f(x) \, dx \approx h \cdot \left( \frac{1}{2} ( y_0 + y_n) + \sum_{i=1}^{n-1} y_i \right) \]mit \( x_i = a + i h \), \( y_i = f(x_i) \) und \( h = \dfrac{b-a}{n} \).das Integral\[A = \int_{3}^{8}\sqrt{3 +3 x^4}\, dx\]für \( n = 10\). Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.

Trapez-Formel (1)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Simpson-Formel (n: Anzahl der Doppelstreifen)\[ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{6}\cdot( S_0 + 4 S_1 + 2 S_2 ) \]mit \( x_i = a + i \frac{h}{2} \), \( y_i = f(x_i) \) und \( h = \dfrac{b-a}{n} \) und \[ S_0 = y_0 + y_{2n}, \quad S_1 = \sum_{i=1}^n y_{2i-1}, \quad S_2 = \sum_{i=1}^{n-1} y_{2i}\]das Integral\[A = \int_{3}^{6}\sqrt{3 +3 x^4}\, dx\]für \( n = 6\). Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.

Simpson-Formel (1)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Simpson-Formel (n: Anzahl der Doppelstreifen)\[ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{6}\cdot( S_0 + 4 S_1 + 2 S_2 ) \]mit \( x_i = a + i \frac{h}{2} \), \( y_i = f(x_i) \) und \( h = \dfrac{b-a}{n} \) und \[ S_0 = y_0 + y_{2n}, \quad S_1 = \sum_{i=1}^n y_{2i-1}, \quad S_2 = \sum_{i=1}^{n-1} y_{2i}\]das Integral\[A = \int_{1}^{3}\frac{x^4}{4 e^x+4 }\, dx\]für \( n = 3\). Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.

Simpson-Formel (2)

Berechnen Sie näherungsweise mit der Simpson-Formel (n: Anzahl der Doppelstreifen)\[ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{6}\cdot( S_0 + 4 S_1 + 2 S_2 ) \]mit \( x_i = a + i \frac{h}{2} \), \( y_i = f(x_i) \) und \( h = \dfrac{b-a}{n} \) und \[ S_0 = y_0 + y_{2n}, \quad S_1 = \sum_{i=1}^n y_{2i-1}, \quad S_2 = \sum_{i=1}^{n-1} y_{2i}\]das Integral\[A = \int_{2}^{7}\frac{1}{\sqrt{2 + \sin(x)^2}}\, dx\]für \( n = 3\). Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.

Simpson-Formel (3)