In dieser Aufgabe soll das Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren angewendet werden, um die lokalen Extremstellen einer Funktion mehrerer Variablen unter einer Nebenbedingung zu ermitteln. Dazu wird das Gleichungssystem, das sich aus den notwendigen Bedingungen ergibt, aufgestellt und gelöst. Ziel ist es, alle möglichen Kandidaten für Extremstellen sowie die zugehörigen Werte des Multiplikators zu bestimmen.
Beispiel
Bestimmen Sie mit Hilfe des Verfahrens der Langrange-Multiplikatoren alle möglichen Extremstellen der Funktion \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) mit \[ f(x,y) = 5 +3 x-2 y\]unter der Nebenbedingung \[ x^2+4 y^2 = 2.\]Geben Sie das Ergebnis in der Form \[ (x_1,y_1,\lambda_1),\ldots, (x_n, y_n, \lambda_n) \] an.
Formate
Stichworte
lagrange-multiplikatoren, extremstellen, nebenbedingung, mehrdimensionale analysis, gleichungssystem, optimierung