Verkettung

Transformationsparameter

Die Parameter einer Funktionstransformation sollen identifiziert und benannt werden.

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Transformationsparameter (a)

Eine Funktion wird durch Veränderung eines Transformationsparameters modifiziert.

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Transformationsparameter (b)

Bestimme den Einfluss eines Skalierungsparameters auf das Argument einer Funktion.

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Transformationsparameter (c)

Untersuche, wie sich eine Verschiebung der Eingabevariable auf den Graphen einer Funktion auswirkt.

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Transformationsparameter (d)

Bestimmen Sie die Gleichung einer verschobenen Funktion anhand der Transformation ihrer Ausgangsfunktion.

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Transformationsparameter (e)

Eine Funktion wird durch mehrere Transformationen im Koordinatensystem verändert.

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Geben Sie die Verkettung \( (f \circ g)(x) \) an, wobei \( f \) und \(g \) durch \[ f(x) = \sqrt{ x^2+ x+1 }\mbox{ und }g(x) = x^2+2 x-5 .\] gegeben sind.

Verkettung von Funktionen

Bestimmen Sie die Verkettung zweier gegebener Funktionen.

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Gegeben sind die beiden Terme \[ f(x) = \frac{4}{1 + x^{2}}\mbox{ und } g(x) = \arctan{\left(x\right)}.\] Bestimmen Sie den Ausdruck \( h(x) = (g \circ f)(x)\).

Verkettung von Funktionen (1)

Es soll die Verkettung zweier gegebener Funktionen gebildet und als neuer Ausdruck dargestellt werden.

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Der Ausdruck \[4\,\cos{\left(\arctan{\left(x\right)}\right)}\] soll als Verkettung von zwei Termen \( (f\circ g) (x) \) dargestellt werden, wobei \[f(x) = 4\,\cos{\left(x\right)}\] gilt. Bestimmen Sie den Term \( g(x) \).

Verkettung von Funktionen (2)

Eine Funktion soll als Verkettung zweier Terme mit vorgegebener äußerer Funktion dargestellt werden.

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Geben Sie für die folgende Abbildung zwei einfache, nichtriviale Abbildungen \( f(x) \) und \( g(x) \) an, aus denen man durch Verketten zur angegebenen Abbildung kommt. \[ f(g(x)) = 4\,\left( 4\,x + 2\right)^{2} + 3\,\left(4\,x + 2\right)-4\]

Verkettung von Funktionen (3)

Eine zusammengesetzte Funktion soll in zwei einfachere Abbildungen zerlegt werden.

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Berechnen Sie zu den Abbildungen \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 5 x-5 \] und \[ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 3 x^2-6 \] die Kompositionen \( f \circ g , g \circ f, f \circ f\) und \( g \circ g \) :

Komposition von Funktionen (a)

Bestimmen Sie die Kompositionen mehrerer vorgegebener Funktionen voneinander.

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Berechnen Sie zu den Abbildungen \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 8 x+4 \] und \[ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto \frac{2}{-3 x^2-3 }\] die Kompositionen \( f \circ g , g \circ f, f \circ f\) und \( g \circ g \) :

Komposition von Funktionen (b)

Untersuchen Sie die Kompositionen zweier gegebener Abbildungen und bestimmen Sie deren Funktionsvorschriften.

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Berechnen Sie zu den Abbildungen \[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto -8 x^2+8 \] und \[ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto \frac{2}{-2 x^2+7 }\] die Kompositionen \( f \circ g , g \circ f, f \circ f\) und \( g \circ g \) :

Komposition von Funktionen (c)

Die Aufgabe besteht darin, verschiedene Kompositionen gegebener Funktionen explizit zu berechnen.

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