In dieser Aufgabe soll der Grenzwert einer Summe zweier rationaler Ausdrücke bestimmt werden, wobei die einzelnen Summanden jeweils Folgen mit Polynomen im Zähler und Nenner darstellen. Der Fokus liegt auf der Analyse des Wachstumsgrades der Polynome, um das Verhalten für große Werte der Laufvariablen zu untersuchen. Typischerweise ist eine Zerlegung in Einzelsummen und die Anwendung von Regeln zur Berechnung von Grenzwerten rationaler Folgen erforderlich.
Beispiel
Bestimmen Sie schrittweise den Grenzwert\[ \lim_{n \to \infty } \left(\frac{3\,n^{7}}{2 + 2\,n^{6} + 2\,n^{7}} + \frac{6\,n^{3}}{1-2\,n^{2}-n^{3}}\right) \]folgen Sie dabei dem folgendem Lösungsweg: \begin{eqnarray*} & & \lim_{n\to \infty} \left( \frac{3 n^7}{2 +2 n^6+2 n^7} + \frac{6 n^3}{1 -2 n^2- n^3}\right)\\[1em] & & \qquad = \lim_{n\to \infty} \frac{3 n^7}{2 +2 n^6+2 n^7} + \lim_{n\to \infty} \frac{6 n^3}{1 -2 n^2- n^3} \\[1em] & & \qquad = \lim_{n \to \infty} \frac{3 n^7}{2 n^{7} } + \lim_{n \to \infty} \frac{6 n^3}{- n^{3}} \\[1em] & & \qquad = \frac{3}{2} -6 \\[1em] & & \qquad = -\frac{9}{2}\end{eqnarray*}
Formate
Stichworte
grenzwert, folge, polynom, rationaler ausdruck, wachstumsverhalten, summen, asymptotik