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MathWeb - Plattform für digitale Aufgaben

Aufgabensammlung
Interaktive Demonstrationen
Anleitungen

Vorgestellt

Bestimmen Sie alle Lösungen der Bruchungleichung \[\frac{3\,x + 9}{2\,x + 7} < 4\]

Verwenden Sie hierzu z.B. den folgenden Lösungsweg:

Fall: \(2 x+7 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{7}{2}\)\[ \begin{array}{crcll} & \dfrac{3 x+9 }{2 x+7 } & <&4\\\Leftrightarrow & 3 x+9 & <&4\cdot( 2 x+7 ) \\ \Leftrightarrow & 3 x+9 & <&8 x+28 \\ \Leftrightarrow & -5 x& <&19 \\ \Leftrightarrow & x &>&-\frac{19}{5}\\ \end{array} \] Ergebnis: \( x > -\frac{7}{2}\)

Fall: \( x < -\frac{7}{2}\):\[ \begin{array}{crcll} & \displaystyle \frac{3 x+9 }{2 x+7 } & <&4& \Big| \cdot \underbrace{ (2 x+7 )}_{<0} \\ \Leftrightarrow & 3 x+9 & >&4\cdot( 2 x+7 ) \\ \Leftrightarrow & 3 x+9 & >&8 x+28 \\ \Leftrightarrow & -5 x& >&19 \\ \Leftrightarrow & x &<&-\frac{19}{5}\\ \end{array} \]

Ergebnis: \( x < -\frac{19}{5}\)

\( \displaystyle \quad \Rightarrow \mathbb{L} = \big(-\infty ,-\frac{19}{5}\big) \cup \big(-\frac{7}{2},\infty \big)\)

Bruchungleichung mit Vorlage
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Lösen Sie die Gleichung \[(3-5\,i)\,z-5 + 3\,i = 3-2\,i\]nach der Variablen \(z\) auf.

Sie können dabei den folgenden Lösungsweg verwenden \[ \begin{array}{rrcl} & (3 -5 i) z-5 +3 i & = & 3 -2 i\\\Leftrightarrow & (3 -5 i) z & = & 8 -5 i\\\Leftrightarrow & z & = & \dfrac{8 -5 i}{3 -5 i}\end{array} \]

Lineare Gleichung in C mit Lösung
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Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems \[ y' = 4\,e^{x}\,\sqrt{1-y^{2}}, \quad y(4) = -0.5 \]
Anfangswertproblem
done    privacy_tip
Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems \[ y' = 4\,e^{x}\,\sqrt{1-y^{2}}, \quad y(4) = -0.5 \]
Anfangswertproblem
done app_registration    privacy_tip
Geraden zeichnen (2)
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Lineares Gleichungssystem lösen
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Korrelation ermitteln
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Körper ober-und unterhalb eines x-Normalgebiets
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Gauß-Algorithmus (mit A = LU)
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Venn-Diagramm
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Zuletzt hinzugefügt

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung \[5 + 5\,x = (1 + a)\,x-1\] in Abhängigkeit von \(a \).
Folgen Sie dabei dem Lösungsweg: \[ \begin{array}{lrcll}& 5 +5 x& = & (1 + a)\, x-1 \\ \Leftrightarrow & (4 - a)\,x& = &-6\end{array} \] Fall: \( a = 4\) \[ \begin{array}{crcl} & (4 - a)\,x& = & -6\\ \Leftrightarrow & 0 = -6\\ \Leftrightarrow & \mbox{ falsch }\end{array} \]

Fall: \( a \neq 4\) \[ \begin{array}{crcl} & (4 - a)\,x& = & -6\\ \Leftrightarrow & x& = & \dfrac{-6}{4 - a}\end{array} \]\[ \Rightarrow \; \mathbb{L} = \left\{ \begin{array}{cl} \{\} &, a = 4 \\ \left\{ \dfrac{-6}{4 - a}\right\} &, a \neq 4\end{array} \right. \]

Lösung einer linearen Gleichung mit Parameter und Vorlage
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Ein Auto (m = 2000 kg) beschleunigt aus dem Stand mit konstanter Beschleunigung auf die Geschwindigkeit \( v = 120 \frac{km}{h} \) und legt dabei die Strecke \( s = 240m \) zurück.

a) Wie groß ist seine Beschleunigung?

\( a = \)

b) Welche Zeit benötigt es für die Strecke?

\( t = \)
Auto beschleunigt
done    lightbulb
Wie ist das charakteristische Polynom \( p(x) \) einer Matrix \( A \) definiert?
\(p(x) = \)
Charakteristisches Polynom einer Matrix
done    
Gesucht sind die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren der Matrix \[ A = \left (\begin{array}{rr}-\frac{5}{2}&-\frac{3}{2}\\\frac{9}{2}&\frac{7}{2}\end{array} \right)\]Was müssen wir tun, um die Eigenwerte zu bestimmen?
Antwort
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix (A)
done    
Berechnen Sie näherungsweise mit der Simpson-Formel (n: Anzahl der Doppelstreifen)\[ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{6}\cdot( S_0 + 4 S_1 + 2 S_2 ) \]mit \( x_i = a + i \frac{h}{2} \), \( y_i = f(x_i) \) und \( h = \dfrac{b-a}{n} \) und \[ S_0 = y_0 + y_{2n}, \quad S_1 = \sum_{i=1}^n y_{2i-1}, \quad S_2 = \sum_{i=1}^{n-1} y_{2i}\]das Integral\[A = \int_{2}^{6}\frac{1}{\sqrt{4 -0.5 \sin(x)^2}}\, dx\]für \( n = 3\). Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.
Ergebnis:
Simpson-Formel (3)
done    
Berechnen Sie näherungsweise mit der Simpson-Formel (n: Anzahl der Doppelstreifen)\[ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{6}\cdot( S_0 + 4 S_1 + 2 S_2 ) \]mit \( x_i = a + i \frac{h}{2} \), \( y_i = f(x_i) \) und \( h = \dfrac{b-a}{n} \) und \[ S_0 = y_0 + y_{2n}, \quad S_1 = \sum_{i=1}^n y_{2i-1}, \quad S_2 = \sum_{i=1}^{n-1} y_{2i}\]das Integral\[A = \int_{1}^{3}\frac{x^2}{2 e^x+1 }\, dx\]für \( n = 3\). Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.
Ergebnis:
Simpson-Formel (2)
done    
Berechnen Sie näherungsweise mit der Simpson-Formel (n: Anzahl der Doppelstreifen)\[ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{6}\cdot( S_0 + 4 S_1 + 2 S_2 ) \]mit \( x_i = a + i \frac{h}{2} \), \( y_i = f(x_i) \) und \( h = \dfrac{b-a}{n} \) und \[ S_0 = y_0 + y_{2n}, \quad S_1 = \sum_{i=1}^n y_{2i-1}, \quad S_2 = \sum_{i=1}^{n-1} y_{2i}\]das Integral\[A = \int_{1}^{3}\sqrt{3 +4 x^4}\, dx\]für \( n = 3\). Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.
Ergebnis:
Simpson-Formel (1)
done    
Berechnen Sie näherungsweise mit der Trapez-Formel\[ \int_a^b f(x) \, dx \approx h \cdot \left( \frac{1}{2} ( y_0 + y_n) + \sum_{i=1}^{n-1} y_i \right) \]mit \( x_i = a + i h \), \( y_i = f(x_i) \) und \( h = \dfrac{b-a}{n} \).das Integral\[A = \int_{2}^{7}\sqrt{4 +2 x^3}\, dx\]für \( n = 11\). Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.
Ergebnis:
Trapez-Formel (1)
done    
Berechnen Sie näherungsweise mit der Trapez-Formel\[ \int_a^b f(x) \, dx \approx h \cdot \left( \frac{1}{2} ( y_0 + y_n) + \sum_{i=1}^{n-1} y_i \right) \]mit \( x_i = a + i h \), \( y_i = f(x_i) \) und \( h = \dfrac{b-a}{n} \).das Integral\[A = \int_{2}^{4}\frac{x^2}{3 e^x+4 }\, dx\]für \( n = 9\). Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.
Ergebnis:
Trapez-Formel (2)
done    
Berechnen Sie näherungsweise mit der Trapez-Formel\[ \int_a^b f(x) \, dx \approx h \cdot \left( \frac{1}{2} ( y_0 + y_n) + \sum_{i=1}^{n-1} y_i \right) \]mit \( x_i = a + i h \), \( y_i = f(x_i) \) und \( h = \dfrac{b-a}{n} \).das Integral\[A = \int_{2}^{7}\frac{1}{\sqrt{2 -1.5 \sin(x)^2}}\, dx\]für \( n = 9\). Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.
Ergebnis:
Trapez-Formel (3)
done    

Beliebte Aufgaben

Vereinfachen Sie \[\frac{\frac{h + k}{h-k}-\frac{h-k}{h + k}}{1-\frac{h-k}{h + k}}\]
Termvereinfachung (2)
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Lösen Sie die Klammern des Terms \[(5\,p + 3\,n-4)\,(5\,p-3\,n-4)\]durch Anwendung einer binomischen Formel auf.
Binomische Formeln (9)
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Lösen Sie die Klammern des Terms \[\left( -5\,w + 3\,y + 1\right)^{2}\]durch Anwendung einer binomischen Formel auf.
Binomische Formeln (8)
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Erweitern Sie schrittweise auf einen geeigneten Nenner und fassen Sie die Brüche zusammen\[\frac{2}{x + 1} + \frac{4}{x-3}\]

Sie können dabei den folgenden Lösungsweg verwenden: \begin{eqnarray*}\frac{2}{x+1} + \frac{4}{x-3} & = & \frac{ 2(x-3) + 4(x+1)}{(x+1)(x-3)} \\[0.5em] & = & \frac{ 6x-2}{(x+1)(x-3)}\end{eqnarray*}

Summe von Brüchen mit Lösung
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Berechnen Sie für die Matrizen \[ A = \left (\begin{array}{rr}3&4\\3&3\\-2&-2\\0&4\end{array} \right)\mbox{ und } B = \left (\begin{array}{rr}4&0\\0&1\end{array} \right)\]das Matrixprodukt \[ C = A \cdot B \]
\( C = \)
Matrixprodukt
done    
Erweitern Sie auf einen geeigneten Nenner und fassen Sie die Brüche zusammen\[\frac{4}{x + 1}-\frac{2}{x-3}\]
Differenz von Brüchen
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Parabel zeichnen (3)
done    
Erweitern Sie auf einen geeigneten Nenner und fassen Sie die Brüche zusammen\[\frac{2}{x + 2} + \frac{1}{x}\]
Summe von Brüchen
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Vereinfachen Sie den folgenden Term so weit wie möglich\[-(8\,z-(5\,x-3\,y-(5\,z-9\,x))) + 5\]
Klammern auflösen
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Schreiben Sie die Wurzel \[\sqrt[3]{t + 3}\]
Wurzel (5)
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