Bestimmen Sie alle Lösungen der Bruchungleichung \[\frac{5\,x + 3}{3\,x-6} > 2\]

Verwenden Sie hierzu den folgenden Lösungsweg:

Fall: \( 3x-6 > 0 \Leftrightarrow x > 2 \) \[ \begin{array}{lrcl} & \dfrac{5x+3}{3x-6} & > & 2 \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & > & 2 \cdot( 3x-6) \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & > & 6x - 12 \\[.5em]\Leftrightarrow & -x & > & - 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & x & < & 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & 2 < & x & < 15\end{array} \]Fall: \( x < 2 \) \[ \begin{array}{lrcl} & \dfrac{5x+3}{3x-6} & > & 2 \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & < & 2 \cdot( 3x-6) \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & < & 6x - 12 \\[.5em]\Leftrightarrow & -x & < & - 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & x & > & 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & \mbox{falsch}\end{array} \]

\( \Rightarrow \qquad \mathbb{L} = (2, 15) \)

Lösen Sie die Gleichung \[(3-5\,i)\,z-5 + 3\,i = 3-2\,i\]nach der Variablen \(z\) auf.

Sie können dabei den folgenden Lösungsweg verwenden \[ \begin{array}{rrcl} & (3 -5 i) z-5 +3 i & = & 3 -2 i\\\Leftrightarrow & (3 -5 i) z & = & 8 -5 i\\\Leftrightarrow & z & = & \dfrac{8 -5 i}{3 -5 i}\end{array} \]

Wenden Sie eine geeignete quadratische Ergänzung auf den folgenden Term an\[x^{2}-6\,x-1\]und kürzen Sie auftretende Brüche so weit wie möglich.

Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung \[\sqrt{-x + 4} = 4\,x-2\]

Bestimmen Sie alle Lösungen der Bruchungleichung \[\frac{4\,x + 7}{4\,x + 5} < 2\]Geben Sie Ihr Ergebnis als Intervall oder als Vereinigung disjunkter Intervalle an.

Bestimmen Sie alle Lösungen der Betragsungleichung \[\left|-6\,x-6\right| > 2\]

Bestimmen Sie alle Lösungen der Betragsgleichung \[\left|x + 1\right| + \left|3\,x + 7\right| = 2\] Hinweis: Nutzen Sie geeignete Fallunterscheidungen

Lösen Sie die Gleichung \[-3\,x-2 = 4-a\,x\]nach der Variablen \(x\) auf.

Bestimmen Sie alle Lösungen der Bruchungleichung \[\frac{5\,x + 3}{3\,x-6} > 2\]

Verwenden Sie hierzu den folgenden Lösungsweg:

Fall: \( 3x-6 > 0 \Leftrightarrow x > 2 \) \[ \begin{array}{lrcl} & \dfrac{5x+3}{3x-6} & > & 2 \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & > & 2 \cdot( 3x-6) \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & > & 6x - 12 \\[.5em]\Leftrightarrow & -x & > & - 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & x & < & 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & 2 < & x & < 15\end{array} \]Fall: \( x < 2 \) \[ \begin{array}{lrcl} & \dfrac{5x+3}{3x-6} & > & 2 \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & < & 2 \cdot( 3x-6) \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & < & 6x - 12 \\[.5em]\Leftrightarrow & -x & < & - 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & x & > & 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & \mbox{falsch}\end{array} \]

\( \Rightarrow \qquad \mathbb{L} = (2, 15) \)

Erweitern Sie auf einen geeigneten Nenner und fassen Sie die Brüche zusammen\[\frac{2}{x}-\frac{2}{x + 1}\]

Bestimmen Sie alle Lösungen der quadratischen Ungleichung \[x^{2} + 5\,x-4 < 0\] Hinweis: quadratische Ergänzung