Numerische Integration

Eine Nullstelle der Funktion \[ f(x) = x-\cos(x) \] soll mit Hilfe des Newton-Verfahrnes bestimmt werden. Geben Sie die Iterationvorschrift in der Form \[ x_{n+1} = \Phi(x_n) \] an und bestimmen Sie ausgehend von \( x_0 = 0 \) die Näherungen \( x_1 \) und \(x_2\).

Sie können hierfür den folgenden Lösungsweg verwenden:\[ \begin{array}{crcl} & f(x) &= &x-\cos(x) \\[1em]\Rightarrow & f'(x) & = & 1+\sin(x)\\[1em]& \Phi(x) & = & x - \dfrac{f(x)}{f'(x)} \\[1em]\Rightarrow & \Phi(x) & = & x - \dfrac{x-\cos(x)}{1+\sin(x)} \\[1em]\Rightarrow & x_{n+1} & = & x_n - \dfrac{x_n-\cos(x_n)}{1+\sin(x_n)} \\[1em] & x_0 & = & 0 \\ & x_1 & = & 0-\dfrac{0-\cos(0)}{1+\sin(0)} = 1 \\[1em] & x_2 & = & 1-\dfrac{1-\cos(1)}{1+\sin(1)} = \dfrac{\sin(1)+\cos(1)}{1+\sin(1)}\end{array} \]

Eine Nullstelle der Funktion \[ f(x) = \tan{\left(x\right)}-2\,x + 1\]soll mit dem Newton-Verfahren bestimmt werden. Geben Sie die Iterationvorschrift in der Form \[ x_{n+1} = \Phi(x_n) \] an und bestimmen Sie ausgehend von \( x_0 = 0\) die Näherungen \( x_1 \) und \(x_2\).