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Vorgestellt

Bestimmen Sie alle Lösungen der Bruchungleichung \[\frac{5\,x + 3}{3\,x-6} > 2\]

Verwenden Sie hierzu den folgenden Lösungsweg:

Fall: \( 3x-6 > 0 \Leftrightarrow x > 2 \) \[ \begin{array}{lrcl} & \dfrac{5x+3}{3x-6} & > & 2 \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & > & 2 \cdot( 3x-6) \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & > & 6x - 12 \\[.5em]\Leftrightarrow & -x & > & - 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & x & < & 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & 2 < & x & < 15\end{array} \]Fall: \( x < 2 \) \[ \begin{array}{lrcl} & \dfrac{5x+3}{3x-6} & > & 2 \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & < & 2 \cdot( 3x-6) \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & < & 6x - 12 \\[.5em]\Leftrightarrow & -x & < & - 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & x & > & 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & \mbox{falsch}\end{array} \]

\( \Rightarrow \qquad \mathbb{L} = (2, 15) \)

Inhaltstyp: Aufgabe

Disziplin: Mathematik

Themengebiet: Ungleichungen

Begriff / Objekt: Bruchterm

Begriff / Objekt: Ungleichung

Niveau: Grundlagen

Anwendungskontext: Lösungsweg-Training

Interaktion: 2D-Editor

Validierungsmodell: Deduktion / Begründung

Die Lösungsmenge einer Bruchungleichung soll einer Vorlage bestimmt werden

Bruchungleichung mit Vorlage

Lösen Sie die Gleichung \[(3-5\,i)\,z-5 + 3\,i = 3-2\,i\]nach der Variablen \(z\) auf.

Sie können dabei den folgenden Lösungsweg verwenden \[ \begin{array}{rrcl} & (3 -5 i) z-5 +3 i & = & 3 -2 i\\\Leftrightarrow & (3 -5 i) z & = & 8 -5 i\\\Leftrightarrow & z & = & \dfrac{8 -5 i}{3 -5 i}\end{array} \]

Inhaltstyp: Aufgabe

Disziplin: Mathematik

Interaktion: 2D-Editor

Validierungsmodell: Deduktion / Begründung

Lineare Gleichung in C mit Lösung

Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems \[ y' = \frac{5}{\sqrt{x}\,e^{y}}, \quad y(0.5) = 1 \]

Inhaltstyp: Aufgabe

Disziplin: Mathematik

Interaktion: Eingabefelder

Validierungsmodell: Endergebnis prüfen

In dieser Aufgabe sollen Sie eine spezielle Lösung einer Differentialgleichung bestimmen.

Anfangswertproblem

Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems \[ y' = \frac{5}{\sqrt{x}\,e^{y}}, \quad y(0.5) = 1 \]

Inhaltstyp: Aufgabe

Disziplin: Mathematik

Interaktion: 2D-Editor

Validierungsmodell: Endergebnis prüfen

In dieser Aufgabe sollen Sie eine spezielle Lösung einer Differentialgleichung bestimmen.

Anfangswertproblem

Inhaltstyp: Aufgabe

Disziplin: Mathematik

Niveau: Grundlagen

Interaktion: Grafische Eingabe

Validierungsmodell: Endergebnis prüfen

<p> In dieser Aufgabe sollen Sie den eine vorgegebene Gerade in ein Koordinatensystem eintragen. </p><p> Sie können die Gerade durch zwei Kontrollpunkte steuern. </p>

Geraden zeichnen (2)

Inhaltstyp: Aufgabe

Disziplin: Mathematik

Interaktion: Eingabefelder

Validierungsmodell: Endergebnis prüfen

In dieser Aufgabe sollen Sie ein lineares Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus lösen. Das lineare Gleichungssystem erscheint als erweiterte Matrix, auf die elementare Zeilenumformungen angewandt werden können. Sie können eine Zeile innerhalb der Matrix auswählen, um diese an eine andere Stelle zu verschieben, rechts neben der Matrix auswälen, um diese mit einer Zahl ( eq 0 ) zu multiplizieren rechts neben der Matrix auswälen und auf eine andere Zeile ziehen, um ein Vielfaches der ersten Zeile auf die zweite Zeile zu addieren. Das Ziel besteht darin, durch geeignete Umformungen die Matrix auf Diagonalgestalt zu überführen und dann die Lösung abzulesen.

Lineares Gleichungssystem lösen

Inhaltstyp: Aufgabe

Disziplin: Mathematik

Interaktion: Eingabefelder

Validierungsmodell: Endergebnis prüfen

Der Korrelationskoeffizient (r ) zwischen zwei Variable ( (x_1,x_2,ldots,x_n) ) und ( (y_1,y_2,ldots, y_n) ) ist definiert als [ r = dfrac{ sum_{i=1}^n (x_i - overline{x} ) ( y_i - overline{y})}{ sqrt{ sum_{i=1}^n (x_i-overline{x})^2}sqrt{ sum_{i=1}^n (y_i-overline{y})^2} }]mit [ overline{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^n x_i mbox{ und }overline{y} = frac{1}{n} sum_{i=1}^n y_i ]Der Korrelationskoeffizient misst die Stärke des linearen Zusammenhangs zweier Größen. Ein positives Vorzeichen weist auf einen positiven Zusammenhang hin ("Je mehr desto mehr") und ein negative Vorzeichen auf einen negativen Zusammenhang ("Je mehr desto weniger"). Der Korrelationskoeffizient kann Werte zwischen -1 und 1 annehmen. Je größer sein Betrag ist, desto besser liegen die Punkte auf einer Geraden.

Korrelation ermitteln

Inhaltstyp: Demonstration

Mehrdimensionale Integration (1) Gegeben ist ein Normalbereich( A = { (x,y) in mathbb{R}^2 : a le x le b, ; g_u(x) le y le g_o(x) } )(2) die obere Funktionen ( f : A o mathbb{R} ) (3) und untere Funktionen ( g: A o mathbb{R}).(4) Gesucht ist das Volumen des Körpers[ K = { (x,y,z) in mathbb{R}^3 : (x,y) in A, ; g(x,y) le z le f(x,y) } ]

Körper ober-und unterhalb eines x-Normalgebiets

Inhaltstyp: Demonstration

Dieses Beispiel veranschaulicht den Gauß-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Das lineare Gleichungssystem erscheint als erweiterte Matrix, auf die elementare Zeilenumformungen angewandt werden können. Sie können eine Zeile innerhalb der Matrix auswählen, um diese an eine andere Stelle zu verschieben, rechts neben der Matrix auswälen, um diese mit eine Zahl ( eq 0 ) zu multiplizieren rechts neben der Matrix auswälen und auf eine andere Zeile ziehen, um ein Vielfaches der ersten Zeile auf die zweite Zeile zu addieren. Das Ziel besteht darin, durch geeignete Umformungen die Matrix auf Diagonalgestalt zu überführen und dann die Lösung abzulesen.[ A = L cdot U ]

Gauß-Algorithmus (mit A = LU)

Inhaltstyp: Aufgabe

Disziplin: Mathematik

Themengebiet: Mengenlehre

Begriff / Objekt: Menge

Niveau: Grundlagen

Interaktion: Grafische Eingabe

Validierungsmodell: Endergebnis prüfen

<p> In dieser Aufgabe soll der Umgang mit Mengen geübt werden. Hierzu soll eine Menge, die als Vereinigung, Schnitt oder Differenz der Mengen A, B und C gegeben ist, im Venn-Diagramm markiert werden. </p>

Venn-Diagramm

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Inhaltstyp: Aufgabe

Disziplin: Mathematik

Themengebiet: Gleichungen

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Niveau: Grundlagen

Interaktion: 2D-Editor

Validierungsmodell: Deduktion / Begründung

Die Lösungsmenge der linearen Gleichung hängt von einem Parameter ab. Fallunterscheidung erforderlich

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Bestimmen Sie alle Lösungen der Betragsungleichung \[\left|-6\,x-6\right| > 2\]

Inhaltstyp: Aufgabe

Disziplin: Mathematik

Themengebiet: Ungleichungen

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Begriff / Objekt: Ungleichung

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Interaktion: 2D-Editor

Validierungsmodell: Deduktion / Begründung

Die Lösungsmenge einer Betragsungleichung wird mit Hilfe einer Fallunterscheidung bestimmt

Betragsungleichung (2)

Bestimmen Sie alle Lösungen der quadratischen Ungleichung \[x^{2} + 5\,x-4 < 0\] Hinweis: quadratische Ergänzung

Inhaltstyp: Aufgabe

Disziplin: Mathematik

Themengebiet: Ungleichungen

Begriff / Objekt: Ungleichung

Begriff / Objekt: Ungleichung

Niveau: Grundlagen

Interaktion: 2D-Editor

Validierungsmodell: Deduktion / Begründung

Die Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung soll mit quadratischer Ergänzung bestimmt werden

Quadratische Ungleichung (2)

Werten Sie den Ausdruck \[\left( C \setminus F\right) \setminus \left( G \cap F\right)\] für \(C = \{1; 10\}, \; F = \{3; 6\}\, \) und \(\; G = \{2; 5; 9\}\) aus.

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Inhaltstyp: Aufgabe

Disziplin: Mathematik

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Kompetenz: Umformen

Begriff / Objekt: Menge

Niveau: Grundlagen

Interaktion: 2D-Editor

Validierungsmodell: Endergebnis prüfen

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Bestimmen Sie alle Lösungen der Bruchungleichung \[\frac{5\,x + 3}{3\,x-6} > 2\]

Verwenden Sie hierzu den folgenden Lösungsweg:

Fall: \( 3x-6 > 0 \Leftrightarrow x > 2 \) \[ \begin{array}{lrcl} & \dfrac{5x+3}{3x-6} & > & 2 \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & > & 2 \cdot( 3x-6) \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & > & 6x - 12 \\[.5em]\Leftrightarrow & -x & > & - 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & x & < & 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & 2 < & x & < 15\end{array} \]Fall: \( x < 2 \) \[ \begin{array}{lrcl} & \dfrac{5x+3}{3x-6} & > & 2 \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & < & 2 \cdot( 3x-6) \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & < & 6x - 12 \\[.5em]\Leftrightarrow & -x & < & - 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & x & > & 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & \mbox{falsch}\end{array} \]

\( \Rightarrow \qquad \mathbb{L} = (2, 15) \)

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<p> In dieser Aufgabe sollen Sie verschiedene Mengenoperationen anwenden.<p> Geben Sie das Ergebnis als Menge in aufzählender Schreibweise an.

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Verwenden Sie hierzu den folgenden Lösungsweg:

Fall: \( 3x-6 > 0 \Leftrightarrow x > 2 \) \[ \begin{array}{lrcl} & \dfrac{5x+3}{3x-6} & > & 2 \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & > & 2 \cdot( 3x-6) \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & > & 6x - 12 \\[.5em]\Leftrightarrow & -x & > & - 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & x & < & 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & 2 < & x & < 15\end{array} \]Fall: \( x < 2 \) \[ \begin{array}{lrcl} & \dfrac{5x+3}{3x-6} & > & 2 \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & < & 2 \cdot( 3x-6) \\[.5em]\Leftrightarrow & 5x+3 & < & 6x - 12 \\[.5em]\Leftrightarrow & -x & < & - 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & x & > & 15 \\[.5em]\Leftrightarrow & \mbox{falsch}\end{array} \]

\( \Rightarrow \qquad \mathbb{L} = (2, 15) \)

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